什么是指数积分 Eₙ(x)？
广义指数积分 \(E_{n}(x)\) 是一个标准的特殊函数，定义为 \(e^{-x\,t}/t^{n}\) 在 \(t\) 从 1 到无穷区间上的积分。它在应用数学、物理学（尤其是辐射传输与中子输运问题）以及工程领域中应用广泛。其中参数 \(n\) 为整数阶，\(x\) 为实数自变量。当 \(n = 1\) 时，它退化为经典的指数积分，满足关系 \(E_{1}(x) = -\operatorname{Ei}(-x)\)。
如何使用本计算器
请将阶数 n 填写为非负整数（0、1、2、3……），并将自变量 x 填写为实数。点击计算即可得到双精度（约 15 位有效数字）的 \(E_{n}(x)\) 结果。只有当 \(x\) 不小于 0 时，函数才取实数值。对于 \(n = 0\) 或 \(n = 1\)，自变量必须严格大于 0，因为这两种情形在 \(x\) 趋于 0 时都会发散；而当 \(n\) 不小于 2 时，函数在 \(x = 0\) 处取有限值，等于 \(1/(n-1)\)。
公式与算法
其定义积分为 $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt$$ 本计算器采用数值稳定的经典 "expint" 算法：当 \(x > 1\) 时使用 Lentz 连分式法，当 \(0 < x \le 1\) 时则使用涉及欧拉–马歇罗尼常数 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 的收敛幂级数。特殊情形则直接处理：\(E_{0}(x) = e^{-x}/x\)，以及当 \(n \ge 2\) 时 \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\)。
计算示例
以默认值 \(n = 2\)、\(x = 1\) 为例。由于 \(x \le 1\)，算法采用幂级数，此时 \(nm1 = 1\)。级数从 1 开始，逐项（\(-0.4227843\)、\(-0.5\)、\(+0.0833333\)、\(-0.0138889\)……）累加，最终收敛到 \(E_{2}(1) \approx 0.1484955\)。可作如下验证：\(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\)，而 \(E_{1}(1) \approx 0.2193839\)。
常见问题
为什么输入负的 x 会返回错误？ 当 \(x < 0\) 时函数不取实数值，因此计算器会将其标记为未定义。
x = 0 时会发生什么？ 当 \(n \ge 2\) 时结果为 \(1/(n-1)\)；而当 \(n = 0\) 或 \(n = 1\) 时函数发散，所以 \(x\) 必须为正数。
计算结果的精度如何？ 双精度运算可提供约 15 位有效数字，足以满足绝大多数科研与工程场景的需要。
