什么是球冠（半球台）？
用一个水平平面去切一个半径为 \(r\) 的球体，切下来并保留下来的那块圆顶状立体，就叫做球冠。它的高 \(h\) 是从平整的切面量到球面最高点的距离。本计算器把 \(h\) 限制在不超过 \(r\) 的范围内，因此能算出的最大立体恰好就是一个半球。切面是一个平整的圆，其半径 \(a\) 满足 \(a^{2} = h(2r - h)\)。
计算器使用方法
请用同一种长度单位（厘米、英寸、米都可以，单位由你自定）填入球半径 \(r\) 和球冠高 \(h\)；体积结果为该单位的立方，面积结果为该单位的平方。务必保证 \(0 < h \le r\)。计算器会给出体积、总表面积（曲面圆顶加上平整底面），以及几个实用的中间值：圆顶曲面面积、底圆面积，以及底圆半径 \(a\)。
公式详解
球冠体积为 $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$ 曲面（球面那部分）即球带面积 \(2\pi r h\)，这是阿基米德给出的一个漂亮结论。平整底面是一个圆，面积为 \(\pi a^{2} = \pi h(2r - h)\)。两者相加即得总表面积 $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$
计算示例
当 \(r = 1\)、\(h = 0.5\) 时：$$a = \sqrt{0.5 \times 1.5} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660$$ $$V = \pi \times \frac{0.25}{3} \times 2.5 = \pi \times 0.20833 \approx 0.65450$$ 曲面面积 \(= 2\pi \times 1 \times 0.5 = \pi \approx 3.14159\)。底面面积 \(= 0.75\pi \approx 2.35619\)。总表面积 $$S = \pi \times 0.5 \times 3.5 = 1.75\pi \approx 5.49779$$
常见问题
为什么 h 被限制在 r 以内？ 这个工具的设定是"最多到半球"，所以把高度上限定在球半径处。从数学上讲，球冠的高 \(h\) 最大可达 \(2r\)，但本版本只在 \(h \le r\) 的范围内计算。
表面积包含平整的底圆吗？ 包含。这里给出的总表面积是曲面圆顶加上平整切面圆。如果你只需要圆顶部分，请查看曲面面积那一行。
当 h = r 时会怎样？ 此时正好得到一个标准半球：\(V = \frac{2}{3}\pi r^{3}\)，圆顶曲面 \(= 2\pi r^{2}\)，底面 \(= \pi r^{2}\)。
