Calculadora de volumen y superficie de un casquete esférico (frustum hemisférico)

Ingresar cálculo

Radio de la esfera r

Height h (h ≤ r)

Enter r and h in the same length unit. Constraint: 0 < h ≤ r (at most a hemisphere).

Fórmula

Show calculation steps (2)

1. Total Surface Area

   

   Curved (cap) area plus flat circular base area; base radius a = sqrt(h(2r - h))

2. Base Radius

   

   Radius of the flat circular base of the cap

Resultados

Volumen V

0,654498

cubic length units (length³)

Superficie total S	5,497787 (length²)
Área curva (cúpula)	3,141593
Área de la base plana	2,356194
Radio del círculo de la base a	0,866025

¿Qué es un casquete esférico (frustum hemisférico)?

Un casquete esférico es el sólido que se obtiene al cortar una esfera de radio r mediante un único plano horizontal y quedarte con la pieza en forma de cúpula que queda por encima (o por debajo) de ese plano. Su altura h se mide desde la cara plana del corte hasta la cúspide de la esfera. Esta herramienta limita h a un valor no mayor que r, de modo que el sólido más grande posible es exactamente una semiesfera. El corte circular plano tiene radio a, donde \(a^{2} = h(2r - h)\).

Un casquete esférico es la región de una esfera de radio r cortada por un solo plano, con altura del casquete h.

Cómo usar la calculadora

Introduce el radio de la esfera r y la altura del casquete h en la misma unidad de longitud (centímetros, pulgadas, metros — la que prefieras; los resultados se expresan en esa unidad al cubo y al cuadrado). Asegúrate de que 0 < h ≤ r. La calculadora devuelve el volumen, la superficie total (la cúpula curva más la base plana) y valores intermedios útiles: el área de la cúpula, el área del disco de la base y el radio del círculo de la base a.

Las fórmulas explicadas

El volumen del casquete es $$V = \frac{\pi\, h^{2}}{3}\left(3\,r - h\right)$$. La superficie esférica curva es la zona esférica \(2\pi r h\), un elegante resultado que debemos a Arquímedes. La base plana es un círculo de área \(\pi a^{2} = \pi h(2r - h)\). Al sumar ambas se obtiene la superficie total $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$.

Magnitudes clave: radio de la esfera r, altura del casquete h, la superficie curva (esférica) y la base circular plana.

Ejemplo resuelto

Para r = 1 y h = 0,5: $$a = \sqrt{0{,}5 \times 1{,}5} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}8660$$ $$V = \pi \times \frac{0{,}25}{3} \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}20833 \approx 0{,}65450$$ Área curva $$= 2\pi \times 1 \times 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14159$$ Área de la base $$= 0{,}75\pi \approx 2{,}35619$$ Total $$S = \pi \times 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75\pi \approx 5{,}49779$$

Preguntas frecuentes

¿Por qué se limita h a r? La herramienta original modela «como mucho una semiesfera», por lo que tope la altura al radio de la esfera. Matemáticamente un casquete puede tener h hasta 2r, pero esta versión se mantiene dentro de h ≤ r.

¿La superficie incluye el disco plano? Sí. La superficie total que se muestra es la cúpula curva más el corte circular plano. Si solo necesitas la cúpula, usa la fila del área curva.

¿Qué ocurre cuando h = r? Obtienes una semiesfera perfecta: \(V = \frac{2}{3}\pi r^{3}\), cúpula \(= 2\pi r^{2}\), base \(= \pi r^{2}\).