¿Qué es un casquete esférico?
Un casquete esférico (también llamado domo esférico o esfera truncada con una sola base) es el sólido que queda cuando cortas una esfera con un único plano y conservas la porción «cortada» más pequeña. Queda definido por el radio de la esfera \(R\) y la altura del casquete \(h\), es decir, la distancia desde el plano de corte hasta la cúspide del domo. Se trata de una herramienta de geometría universal: las fórmulas funcionan igual en cualquier parte y con cualquier unidad de longitud.
Cómo usarla
Introduce el radio de la esfera \(R\) y la altura del casquete \(h\), y elige después una unidad de longitud (se usa la misma para los datos de entrada y para los resultados). La condición que debe cumplirse es \(0 < h \le 2R\): cuando \(h = 2R\) el casquete coincide con la esfera completa, y cuando \(h = R\) obtienes exactamente una semiesfera. La calculadora te devuelve el radio de la base plana \(a\), el volumen del casquete, el área de la superficie curva (esférica), el área de la base plana y la superficie total.
Las fórmulas explicadas
El radio de la base se obtiene de la relación del triángulo rectángulo \(a^{2} = h(2R - h)\), de modo que $$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}.$$ El volumen es $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right).$$ El área curva del casquete es $$S_{\text{curva}} = 2\pi R h,$$ mientras que la base circular plana tiene un área \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\). La superficie total es la suma de ambas: $$S_{\text{total}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right).$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(R = 10\ \text{cm}\) y \(h = 4\ \text{cm}\). Entonces \(a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8\ \text{cm}\). El volumen es $$V = \frac{\pi \times 16}{3}\left(30 - 4\right) = \frac{416}{3}\pi \approx 435{,}63\ \text{cm}^{3}.$$ El área curva vale \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251{,}33\ \text{cm}^{2}\), el área de la base es \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201{,}06\ \text{cm}^{2}\), y la superficie total es \(144\pi \approx 452{,}39\ \text{cm}^{2}\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si h es igual a 2R? El casquete es la esfera completa: \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\), área curva \(= 4\pi R^{2}\) y el radio de la base es 0.
¿Y si h es igual a R? Obtienes una semiesfera: \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\), área curva \(= 2\pi R^{2}\) y \(a = R\).
¿Puede la altura del casquete superar el diámetro? No. El plano de corte no puede eliminar más que la esfera entera, así que \(h\) debe cumplir \(0 < h \le 2R\); los valores mayores se rechazan.
