Qu'est-ce qu'une calotte sphérique ?
Une calotte sphérique (aussi appelée dôme sphérique ou sphère tronquée à une seule base) est le solide obtenu lorsqu'on coupe une sphère par un unique plan et que l'on conserve la partie « tranchée ». Elle est définie par le rayon \(R\) de la sphère et la hauteur \(h\) de la calotte — la distance entre le plan de coupe et le sommet du dôme. C'est un outil de géométrie universel : les formules s'appliquent de façon identique partout, quelle que soit l'unité de longueur choisie.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon \(R\) de la sphère et la hauteur \(h\) de la calotte, puis choisissez une unité de longueur (la même unité sert aux données saisies et aux résultats). La contrainte est \(0 < h \le 2R\) : quand \(h = 2R\), la calotte devient la sphère entière, et quand \(h = R\), on obtient exactement une demi-sphère. Le calculateur fournit le rayon de base plan \(a\), le volume de la calotte, l'aire de la surface courbe (sphérique), l'aire de la base plane et la surface totale.
Les formules expliquées
Le rayon de base découle de la relation dans le triangle rectangle \(a^{2} = h(2R - h)\), donc $$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}$$ Le volume vaut $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right)$$ L'aire courbe de la calotte est \(S_{\text{courbe}} = 2\pi R h\), tandis que la base circulaire plane a pour aire \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\). La surface totale est la somme des deux : $$S_{\text{totale}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right)$$
Exemple résolu
Prenons \(R = 10\) cm et \(h = 4\) cm. Alors $$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$ Le volume vaut $$V = \frac{\pi \times 16}{3}\left(30 - 4\right) = \frac{416}{3}\pi \approx 435{,}63 \text{ cm}^{3}$$ L'aire courbe est \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251{,}33\) cm², l'aire de la base est \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201{,}06\) cm², et la surface totale est \(144\pi \approx 452{,}39\) cm².
FAQ
Que se passe-t-il si \(h = 2R\) ? La calotte correspond à la sphère entière : \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\), aire courbe \(= 4\pi R^{2}\), et le rayon de base est nul.
Et si \(h = R\) ? On obtient une demi-sphère : \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\), aire courbe \(= 2\pi R^{2}\), et \(a = R\).
La hauteur de la calotte peut-elle dépasser le diamètre ? Non. Le plan de coupe ne peut pas retirer davantage que la sphère entière : \(h\) doit donc respecter \(0 < h \le 2R\) ; toute valeur supérieure est rejetée.
