Qu'est-ce qu'un coefficient binomial ?
Le coefficient binomial, noté C(n, k) ou « k parmi n », désigne le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble de n éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre de sélection. C'est l'une des notions les plus fondamentales de l'analyse combinatoire et des probabilités : on la retrouve dans le triangle de Pascal, le binôme de Newton et une multitude de problèmes de dénombrement.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments n, puis le nombre d'éléments à choisir k. Le calculateur affiche immédiatement le nombre exact de combinaisons. Si k est supérieur à n, le résultat vaut 0 : il est impossible de sélectionner plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La définition classique est la suivante :
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
Comme les factorielles croissent très vite, cet outil utilise la forme multiplicative équivalente : il multiplie les termes (n−k+i)/i pour i = 1…min(k, n−k). Les nombres intermédiaires restent ainsi petits, ce qui évite tout dépassement de capacité tout en donnant exactement le même résultat entier.
Exemple détaillé
Combien de mains de 2 cartes peut-on tirer parmi un paquet de 5 cartes ? On calcule $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ Il existe donc 10 paires possibles.
Tableau de référence du triangle de Pascal (C(n,k) pour n petit)
Chaque entrée du tableau est le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\), arrangé de sorte que chaque ligne \(n\) énumère les valeurs pour \(k = 0, 1, \dots, n\). Ceci forme le triangle de Pascal, où chaque entrée intérieure égale la somme des deux entrées en diagonale au-dessus d'elle : \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). Remarquez la symétrie au sein de chaque ligne, puisque \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Par exemple, \(\binom{10}{3} = \) 120, trouvé à la ligne 10, colonne \(k=3\). La somme de chaque entrée dans la ligne \(n\) égale \(2^n\) (par exemple ligne 4 : \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
Exemples travaillés supplémentaires
Les exemples suivants appliquent la formule \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), en utilisant le raccourci multiplicatif \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) de sorte que les énormes factorielles s'annulent avant que n'importe quelle grande multiplication soit nécessaire.
Exemple 1 : \(\binom{10}{3}\) — choisir 3 parmi 10
Conservez seulement les 3 premiers facteurs décroissants de \(10!\) sur \(3!\) :
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$Il y a donc 120 façons de choisir 3 articles parmi 10 lorsque l'ordre n'a pas d'importance.
Exemple 2 : \(\binom{6}{6}\) — choisir tous les éléments
Choisir tous les éléments disponibles peut se faire exactement d'une seule manière. Avec \(k = n\), le terme \((n-k)!\) devient \(0! = 1\) :
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$Ceci confirme l'identité \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1.
Exemple 3 : \(\binom{49}{6}\) — une loterie 6 sur 49
Le nombre de tickets non ordonnés distincts à 6 numéros à partir d'un pool de 49 utilise le raccourci multiplicatif avec les six plus grands facteurs décroissants :
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$Le numérateur est \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\), et le dénominateur est \(6! = 720\) :
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$Donc un seul ticket a une chance de 1 sur 13{,}983{,}816 de correspondre aux six numéros. Si vous vouliez plutôt des tirages ordonnés, vous utiliseriez les permutations \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — mais pour une loterie typique seule la combinaison compte.
FAQ
Que vaut \(\binom{n}{0}\) ? Toujours 1 : il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir.
A-t-on \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) ? Oui, le coefficient binomial est symétrique : choisir k éléments à garder revient au même que choisir les n−k éléments à laisser de côté.
Quelle est la différence entre combinaisons et arrangements ? Les combinaisons ne tiennent pas compte de l'ordre, contrairement aux arrangements (permutations). Le nombre d'arrangements vaut \(\binom{n}{k} \times k!\).
