Qu'est-ce que le calculateur de développement binomial ?
Cet outil applique le binôme de Newton pour développer et évaluer toute expression de la forme \((a + b)^n\), où n est un entier positif ou nul. Il renvoie la valeur numérique de l'expression entière, le nombre de termes du développement ainsi que la structure symbolique de chaque terme. C'est un outil mathématique universel, sans aucune restriction géographique.
Mode d'emploi
Saisissez le premier terme a, le second terme b, puis l'exposant n (de 0 à 20). Les valeurs de a et de b peuvent être positives, négatives ou fractionnaires. Cliquez sur « Calculer » pour afficher le résultat. Comme la valeur est calculée terme à terme à l'aide des coefficients binomiaux, vous pouvez vérifier les résultats intermédiaires à la main en vous appuyant sur la structure des termes affichée.
La formule expliquée
Le binôme de Newton énonce que \((a + b)^n\) est égal à la somme, pour k allant de 0 à n, de \(C(n,k)\cdot a^{n-k}\cdot b^k\).
$$\left(\text{a} + \text{b}\right)^{\text{n}} = \sum_{k=0}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{k}\, \text{a}^{\,\text{n}-k}\, \text{b}^{\,k}$$Le coefficient \(C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) indique le nombre de façons de choisir k objets parmi n ; ces coefficients constituent les lignes du triangle de Pascal. Le développement compte toujours \(n + 1\) termes : les puissances de a décroissent de n à 0 tandis que les puissances de b croissent de 0 à n.
Exemple détaillé
Pour \((1 + 2)^3\), les termes sont \(C(3,0)\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1\), \(C(3,1)\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6\), \(C(3,2)\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12\) et \(C(3,3)\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8\). Leur somme donne \(1 + 6 + 12 + 8 = 27\), soit exactement \(3^3 = 27\), ce qui confirme le développement.
Le triangle de Pascal : coefficients binomiaux par exposant
Chaque ligne \(n\) du triangle de Pascal énumère les coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\) pour \(k = 0, 1, 2, \dots, n\). Ce sont exactement les coefficients numériques qui apparaissent dans le développement de \((a+b)^n\). Lisez la ligne de gauche à droite pour obtenir le coefficient de chaque terme, commençant par \(a^n b^0\) à gauche et finissant par \(a^0 b^n\) à droite.
| \(n\) | Coefficients binomiaux \(\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}\) | Somme de la ligne \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Chaque entrée égale la somme des deux entrées directement au-dessus (par exemple, le milieu de la ligne 6 est \(10 + 10 = 20\)). Le coefficient du milieu de la ligne 6 peut également être calculé directement comme \(\binom{6}{3} = \) 20, et le total de la ligne \(\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n\) confirme qu'un développement de \((a+b)^n\) a \(n+1\) termes.
Autres exemples résolus
Chaque développement utilise \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\) et extrait ses coefficients directement de la ligne correspondante du triangle de Pascal.
Exemple 1 : \((x-2)^4\) — signes alternés
Ici \(a = x\), \(b = -2\), \(n = 4\). La ligne 4 du triangle de Pascal est \(1, 4, 6, 4, 1\). Parce que \(b\) est négatif, les puissances de \(-2\) rendent les signes alternés :
- \(\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4\)
- \(\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3\)
- \(\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2\)
- \(\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x\)
- \(\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16\)
En combinant : \((x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\).
Exemple 2 : \((2+3)^5\) — entièrement numérique
Ici \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 5\), et la ligne 5 est \(1, 5, 10, 10, 5, 1\) :
- \(\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32\)
- \(\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240\)
- \(\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720\)
- \(\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080\)
- \(\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810\)
- \(\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243\)
En additionnant les termes : \(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = \) 3125. Comme vérification, \((2+3)^5 = 5^5 = 3125\).
Exemple 3 : \(\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3\) — base fractionnaire
Ici \(a = 1\), \(b = \tfrac{1}{2}\), \(n = 3\), avec la ligne 3 égale à \(1, 3, 3, 1\) :
- \(\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1\)
- \(\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
- \(\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\)
- \(\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}\)
En additionnant les termes : \(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = \) 3.375. Cela correspond à \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\).
Termes clés et définitions
- Coefficient binomial \(\binom{n}{k}\)
- Le nombre multipliant chaque terme du développement, lu « n parmi k ». Il compte le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) et est calculé comme \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Par exemple, \(\binom{5}{2} = \) 10.
- Exposant \(n\)
- La puissance entière à laquelle le binôme \((a+b)\) est élevé. Il fixe la puissance la plus élevée et détermine que le développement a exactement \(n+1\) termes.
- Terme
- Un élément additif du résultat développé, de la forme \(\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\). Les exposants sur \(a\) et \(b\) dans un terme unique s'ajoutent toujours à \(n\).
- Termes de base \(a\) et \(b\)
- Les deux quantités additionnées à l'intérieur des parenthèses. Elles peuvent être des nombres, des variables, des fractions ou des valeurs négatives ; dans \((x-2)^4\), par exemple, \(a = x\) et \(b = -2\).
- Factorielle \(n!\)
- Le produit de tous les entiers positifs jusqu'à \(n\) : \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\), avec \(0! = 1\) par définition. Par exemple, \(5! = \) 120. Les factorielles sous-tendent la formule de chaque coefficient binomial.
- Triangle de Pascal
- Un tableau triangulaire dans lequel la ligne \(n\) énumère les coefficients \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\). Chaque entrée intérieure est la somme des deux entrées au-dessus, donnant un moyen rapide de lire les coefficients binomiaux sans calculer les factorielles.
Questions fréquentes
n peut-il être fractionnaire ou négatif ? Ce calculateur ne traite que les exposants entiers positifs ou nuls, qui donnent un développement fini de \(n + 1\) termes.
a et b peuvent-ils être négatifs ? Oui. Par exemple, \((a - b)^n\) se saisit avec un a positif et un b négatif, ce qui produit des signes alternés.
Quel est l'exposant maximal ? n est plafonné à 20 afin de garantir des résultats numériquement stables et faciles à lire.
