Máy tính khai triển nhị thức là gì?
Công cụ này áp dụng nhị thức Newton để khai triển và tính giá trị mọi biểu thức có dạng \((a + b)^{n}\), trong đó n là số nguyên không âm. Kết quả trả về gồm giá trị số của cả biểu thức, số lượng hạng tử trong khai triển và cấu trúc ký hiệu của từng hạng tử. Đây là một công cụ toán học phổ quát, áp dụng được ở mọi nơi mà không bị giới hạn theo quốc gia.
Cách sử dụng
Bạn nhập số hạng thứ nhất a, số hạng thứ hai b và số mũ n (từ 0 đến 20). Cả a và b đều có thể là số dương, số âm hoặc phân số. Nhấn nút tính để xem kết quả. Vì giá trị được tính lần lượt theo từng hạng tử bằng các hệ số nhị thức, bạn hoàn toàn có thể kiểm tra lại từng phần kết quả bằng tay dựa trên cấu trúc các hạng tử hiển thị.
Giải thích công thức
Nhị thức Newton phát biểu rằng \((a + b)^{n}\) bằng tổng từ k = 0 đến n của \(C(n,k)\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}\). Công thức tổng quát là
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$Hệ số \(C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) cho biết số cách chọn k phần tử từ n phần tử, và những hệ số này chính là các dòng trong tam giác Pascal. Khai triển luôn có đúng \(n + 1\) hạng tử: số mũ của a giảm dần từ n về 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 lên n.
Ví dụ minh họa
Với \((1 + 2)^{3}\): các hạng tử lần lượt là \(C(3,0)\cdot 1^{3}\cdot 2^{0} = 1\), \(C(3,1)\cdot 1^{2}\cdot 2^{1} = 6\), \(C(3,2)\cdot 1^{1}\cdot 2^{2} = 12\) và \(C(3,3)\cdot 1^{0}\cdot 2^{3} = 8\). Cộng lại ta được
$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$đúng bằng \(3^{3} = 27\), qua đó khẳng định khai triển là chính xác.
Tam giác Pascal: Các hệ số nhị thức theo lũy thừa
Mỗi hàng \(n\) của tam giác Pascal liệt kê các hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\) với \(k = 0, 1, 2, \dots, n\). Đây chính xác là các hệ số số học xuất hiện trong khai triển của \((a+b)^n\). Đọc theo một hàng để lấy hệ số của mỗi hạng tử, bắt đầu từ \(a^n b^0\) ở bên trái và kết thúc ở \(a^0 b^n\) ở bên phải.
| \(n\) | Các hệ số nhị thức \(\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}\) | Tổng hàng \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Mỗi phần tử bằng tổng của hai phần tử nằm trực tiếp phía trên nó (ví dụ, phần tử chính giữa của hàng 6 là \(10 + 10 = 20\)). Hệ số chính giữa của hàng 6 cũng có thể được tính trực tiếp như \(\binom{6}{3} = \) 20, và tổng hàng \(\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n\) xác nhận rằng khai triển của \((a+b)^n\) có \(n+1\) hạng tử.
Thêm các ví dụ có lời giải
Mỗi khai triển sử dụng \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\) và lấy các hệ số của nó trực tiếp từ hàng tương ứng của tam giác Pascal.
Ví dụ 1: \((x-2)^4\) — dấu xen kẽ
Ở đây \(a = x\), \(b = -2\), \(n = 4\). Hàng 4 của tam giác Pascal là \(1, 4, 6, 4, 1\). Vì \(b\) là âm, các lũy thừa của \(-2\) làm cho dấu xen kẽ nhau:
- \(\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4\)
- \(\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3\)
- \(\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2\)
- \(\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x\)
- \(\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16\)
Kết hợp: \((x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\).
Ví dụ 2: \((2+3)^5\) — hoàn toàn số học
Ở đây \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 5\), và hàng 5 là \(1, 5, 10, 10, 5, 1\):
- \(\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32\)
- \(\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240\)
- \(\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720\)
- \(\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080\)
- \(\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810\)
- \(\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243\)
Cộng các hạng tử: \(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = \) 3125. Để kiểm tra, \((2+3)^5 = 5^5 = 3125\).
Ví dụ 3: \(\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3\) — cơ số phân số
Ở đây \(a = 1\), \(b = \tfrac{1}{2}\), \(n = 3\), với hàng 3 bằng \(1, 3, 3, 1\):
- \(\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1\)
- \(\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
- \(\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\)
- \(\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}\)
Cộng các hạng tử: \(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = \) 3.375. Điều này phù hợp với \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\).
Các thuật ngữ chính & Định nghĩa
- Hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\)
- Số nhân với mỗi hạng tử của khai triển, đọc là "n chọn k". Nó đếm có bao nhiêu cách chọn \(k\) phần tử từ \(n\) và được tính là \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Ví dụ, \(\binom{5}{2} = \) 10.
- Lũy thừa \(n\)
- Lũy thừa số nguyên mà nhị thức \((a+b)\) được nâng lên. Nó xác định lũy thừa cao nhất và xác định rằng khai triển có chính xác \(n+1\) hạng tử.
- Hạng tử
- Một phần cộng của kết quả khai triển, có dạng \(\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\). Các lũy thừa trên \(a\) và \(b\) trong một hạng tử luôn cộng lại bằng \(n\).
- Các hạng tử cơ số \(a\) và \(b\)
- Hai đại lượng được cộng bên trong dấu ngoặc. Chúng có thể là số, biến, phân số hoặc các giá trị âm; ví dụ trong \((x-2)^4\), \(a = x\) và \(b = -2\).
- Giai thừa \(n!\)
- Tích của tất cả các số nguyên dương lên đến \(n\): \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\), với \(0! = 1\) theo định nghĩa. Ví dụ, \(5! = \) 120. Các giai thừa là cơ sở của công thức cho mỗi hệ số nhị thức.
- Tam giác Pascal
- Một mảng tam giác trong đó hàng \(n\) liệt kê các hệ số \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\). Mỗi phần tử ở bên trong là tổng của hai phần tử ở phía trên nó, cung cấp một cách nhanh để lấy các hệ số nhị thức mà không cần tính các giai thừa.
Câu hỏi thường gặp
n có thể là phân số hay số âm không? Máy tính này chỉ xử lý số mũ là số nguyên không âm, nhờ đó cho ra một khai triển hữu hạn gồm \(n + 1\) hạng tử.
a và b có thể âm không? Hoàn toàn được. Ví dụ \((a - b)^{n}\) được nhập với a dương và b âm, khi đó các hạng tử sẽ đan dấu (dấu cộng và dấu trừ xen kẽ).
Số mũ tối đa là bao nhiêu? Giá trị n được giới hạn ở mức 20 để kết quả luôn ổn định về mặt số học và dễ đọc.
