Калькулятор биномиального разложения

Количество слагаемых	4
Структура слагаемых	C(3,0)·a^3 + C(3,1)·a^2·b + C(3,2)·a·b^2 + C(3,3)·b^3

Что такое калькулятор биномиального разложения?

Этот калькулятор использует бином Ньютона, чтобы разложить и вычислить любое выражение вида $(a + b)^{n}$, где n — целое неотрицательное число. Он выдаёт числовое значение всего выражения, количество слагаемых в разложении и символьную структуру каждого члена. Это универсальный математический инструмент без каких-либо региональных ограничений.

Как пользоваться калькулятором

Введите первое слагаемое a, второе слагаемое b и показатель степени n (от 0 до 20). Значения a и b могут быть положительными, отрицательными или дробными. Нажмите «Вычислить» и получите результат. Поскольку значение считается слагаемое за слагаемым через биномиальные коэффициенты, вы легко сверите промежуточные результаты вручную по выведенной структуре членов.

Разбор формулы

Бином Ньютона утверждает, что

$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

Коэффициент $C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ показывает, сколькими способами можно выбрать k объектов из n, и эти коэффициенты образуют строки треугольника Паскаля. Слагаемых всегда $n + 1$: степени a убывают от n до 0, а степени b растут от 0 до n.

Треугольник Паскаля в виде строк чисел, образующих треугольник — Треугольник Паскаля: каждая строка даёт биномиальные коэффициенты для данного показателя n.

Аннотированная схема одного члена биномиального разложения с биномиальным коэффициентом, степенью a и степенью b — Строение общего члена: биномиальный коэффициент умножить на a^(n−k) и на b^k.

Разбор примера

Для $(1 + 2)^{3}$ слагаемые такие: $C(3,0)\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1$, $C(3,1)\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6$, $C(3,2)\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12$ и $C(3,3)\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8$. В сумме получаем

$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$

что совпадает с $3^3 = 27$ — разложение верно.

Частые вопросы

Может ли n быть дробным или отрицательным? Этот калькулятор работает только с целыми неотрицательными показателями, которые дают конечное разложение из $n + 1$ слагаемых.

Могут ли a и b быть отрицательными? Да. Например, $(a - b)^{n}$ вводится как положительное a и отрицательное b, в результате чего знаки в разложении чередуются.

Какой максимальный показатель степени? Значение n ограничено числом 20 — это сохраняет результаты численно устойчивыми и удобными для чтения.

Треугольник Паскаля: биномиальные коэффициенты по показателю степени

Каждая строка $n$ треугольника Паскаля содержит биномиальные коэффициенты $\binom{n}{k}$ для $k = 0, 1, 2, \dots, n$. Это именно числовые коэффициенты, которые появляются в разложении $(a+b)^n$. Прочитайте строку слева направо, чтобы получить коэффициент каждого члена, начиная с $a^n b^0$ слева и заканчивая $a^0 b^n$ справа.

$n$	Биномиальные коэффициенты $\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}$	Сумма строки $2^n$
0	1	1
1	1, 1	2
2	1, 2, 1	4
3	1, 3, 3, 1	8
4	1, 4, 6, 4, 1	16
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	32
6	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64
7	1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1	128
8	1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1	256
9	1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1	512
10	1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1	1024

Каждый элемент равен сумме двух элементов, расположенных непосредственно над ним (например, средний элемент строки 6 равен $10 + 10 = 20$). Средний коэффициент строки 6 также можно вычислить непосредственно как $\binom{6}{3} = $ 20, и сумма строки $\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n$ подтверждает, что разложение $(a+b)^n$ имеет ровно $n+1$ членов.

Дополнительные решённые примеры

Каждое разложение использует формулу $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ и берёт коэффициенты прямо из соответствующей строки треугольника Паскаля.

Пример 1: $(x-2)^4$ — чередующиеся знаки

Здесь $a = x$, $b = -2$, $n = 4$. Строка 4 треугольника Паскаля: $1, 4, 6, 4, 1$. Поскольку $b$ отрицательно, степени $-2$ делают знаки чередующимися:

$\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4$
$\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3$
$\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
$\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x$
$\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16$

Объединяя: $(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

Пример 2: $(2+3)^5$ — полностью числовой

Здесь $a = 2$, $b = 3$, $n = 5$, а строка 5 равна $1, 5, 10, 10, 5, 1$:

$\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32$
$\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240$
$\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720$
$\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080$
$\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810$
$\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243$

Суммируя члены: $32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = $ 3125. Для проверки: $(2+3)^5 = 5^5 = 3125$.

Пример 3: $\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3$ — дробное основание

Здесь $a = 1$, $b = \tfrac{1}{2}$, $n = 3$, а строка 3 равна $1, 3, 3, 1$:

$\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1$
$\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$
$\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$
$\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}$

Складывая члены: $1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = $ 3.375. Это совпадает с $\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}$.

Ключевые термины и определения

Биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$: Число, на которое умножается каждый член разложения, читается как «n по k» или «число сочетаний из n по k». Оно показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ и вычисляется по формуле $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Например, $\binom{5}{2} = $ 10.
Показатель степени $n$: Целое число, в степень которого возводится двучлен $(a+b)$. Он определяет наибольшую степень и гарантирует, что разложение содержит ровно $n+1$ членов.
Член: Одно слагаемое в развёрнутом результате, имеющее вид $\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$. Показатели степеней $a$ и $b$ в одном члене всегда в сумме дают $n$.
Базовые члены $a$ и $b$: Две величины, складываемые в скобках. Это могут быть числа, переменные, дроби или отрицательные значения; например, в $(x-2)^4$ имеем $a = x$ и $b = -2$.
Факториал $n!$: Произведение всех натуральных чисел до $n$ включительно: $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$, с определением $0! = 1$. Например, $5! = $ 120. Факториалы являются основой формулы для каждого биномиального коэффициента.
Треугольник Паскаля: Треугольный массив, в котором строка $n$ содержит коэффициенты $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$. Каждый внутренний элемент равен сумме двух элементов над ним, что позволяет быстро находить биномиальные коэффициенты без вычисления факториалов.