Калькулятор биномиального распределения

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,7553372
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,40440127
Expectation (mean) = n·p	8

Что такое калькулятор биномиального распределения?

Этот инструмент вычисляет биномиальное распределение для фиксированного числа независимых испытаний. По заданному числу успехов x, числу испытаний n и вероятности успеха в одном испытании p он находит вероятность ровно x успехов (функцию вероятности), нижнюю кумулятивную вероятность, верхнюю кумулятивную вероятность и математическое ожидание. Биномиальная модель применима всякий раз, когда вы повторяете один и тот же опыт с двумя исходами «да/нет» фиксированное число раз при постоянной вероятности успеха: подбрасывание монеты, число бракованных деталей в партии или вопросы теста, на которые правильно ответили наугад.

Столбчатая диаграмма, показывающая биномиальную вероятность для каждого числа успехов — Биномиальная функция вероятности даёт вероятность каждого возможного числа успехов x в n испытаниях.

Как пользоваться калькулятором

Введите три числа. Число успехов x и число испытаний n должны быть целыми, причём $0 \le x \le n$ и $n \ge 1$. Вероятность p должна находиться в диапазоне от 0 до 1. Нажмите «Рассчитать» — и все четыре результата появятся одновременно. Помните: это дискретное распределение, поэтому главная величина — это функция вероятности (настоящая вероятность), а не плотность вероятности.

Разбор формулы

Функция вероятности задаётся как $$f(x,n,p) = \binom{n}{x} \, p^{\,x} \left(1 - p\right)^{n - x}$$ где $\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n - x)!}$ — биномиальный коэффициент, показывающий, сколькими способами x успехов могут распределиться среди n испытаний. Нижняя кумулятивная вероятность $P(X \le x)$ — это сумма $f(t)$ по t от 0 до x, а верхняя кумулятивная $Q(X \ge x)$ — сумма $f(t)$ по t от x до n. Поскольку точка $t = x$ входит в обе суммы, выполняется равенство $P + Q - f(x) = 1$. Среднее значение вычисляется просто: $\mu = n \cdot p$. Коэффициенты считаются через логарифмы факториалов — это сохраняет устойчивость вычислений при больших n.

Схема, разбивающая биномиальную формулу на сочетания, p в степени x и (1-p) в степени n минус x — Формула умножает число комбинаций на вероятности успехов и неудач.

Пример расчёта

Для $x = 9$, $n = 20$, $p = 0{,}4$: $\binom{20}{9} = 167960$, $p^{9} = 0{,}000262144$, а $0{,}6^{11} \approx 0{,}0036279706$. Тогда $$f = 167960 \times 0{,}000262144 \times 0{,}0036279706 \approx 0{,}15974$$ Среднее равно $20 \times 0{,}4 = 8$. Суммирование даёт $P(X \le 9) \approx 0{,}75534$ и $Q(X \ge 9) \approx 0{,}40440$, что удовлетворяет условию $0{,}75534 + 0{,}40440 - 0{,}15974 \approx 1$.

Определения и словарь

Биномиальное распределение моделирует количество успехов в фиксированном количестве независимых экспериментов типа «да/нет». Приведённые ниже термины используются во всём этом калькуляторе.

Испытание: одно повторение эксперимента, которое приводит к одному из двух возможных исходов (например, один бросок монеты).
Успех: исход, который вы считаете, каким бы вы его ни определили (орёл, дефектная деталь, правильный ответ). Его дополнением является «неудача».
n (количество испытаний): общее количество независимых проведённых испытаний. Это должно быть фиксированное положительное целое число.
x (количество успехов): конкретное число успехов, для которого вы хотите найти вероятность, где $0 \le x \le n$.
p (вероятность успеха): вероятность того, что любое отдельное испытание является успехом, десятичное число от 0 до 1.
q = 1 − p (вероятность неудачи): вероятность того, что одно испытание является неудачей.
Биномиальный коэффициент $\binom{n}{x}$: количество различных способов выбрать, какие $x$ из $n$ испытаний являются успехами, вычисляется как $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
Функция вероятности (pmf), $f(x)$: вероятность ровно $x$ успехов, $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
Нижняя кумулятивная вероятность, $P(X \le x)$: вероятность не более $x$ успехов, сумма значений pmf от 0 до $x$ включительно.
Верхняя кумулятивная вероятность, $P(X \ge x)$: вероятность не менее $x$ успехов, сумма значений pmf от $x$ до $n$ включительно.
Математическое ожидание (среднее значение), $\mu = np$: ожидаемое среднее количество успехов за много повторений.
Дисперсия, $\sigma^{2}=np(1-p)$: разброс распределения вокруг его среднего значения.
Стандартное отклонение, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$: типичное отклонение количества успехов от среднего значения в тех же единицах, что и $x$.

Интерпретация вашего результата

Этот калькулятор возвращает три вероятности и математическое ожидание. Выберите ту, которая соответствует формулировке вашего вопроса:

pmf, $f(x)=P(X=x)$ — используйте, когда хотите узнать вероятность ровно $x$ успехов, например «ровно 5 орлов в 10 бросаниях».
Нижняя кумулятивная вероятность, $P(X \le x)$ — используйте для не более $x$ («$x$ или меньше»), например «5 или меньше правильных ответов».
Верхняя кумулятивная вероятность, $P(X \ge x)$ — используйте для не менее $x$ («$x$ или больше»), например «не менее 1 дефектной детали».

Заметьте, что кумулятивные части перекрываются в точке $x$: $P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)$, потому что оба диапазона включают само значение $x$. Чтобы получить строго менее $x$, используйте $P(X \le x-1)$; для строго более $x$, используйте $P(X \ge x+1)$.

Математическое ожидание $np$ — это ожидаемое количество успехов — долгосрочное среднее значение, если вы повторяли бы полный эксперимент из $n$ испытаний много раз. Оно не обязано быть целым числом; ожидаемое значение 4,5 просто описывает среднее значение.

Все вероятности приводятся как десятичные числа между 0 и 1 (умножьте на 100, чтобы получить проценты). Значение близкое к 0 означает, что событие редко; близкое к 1, практически достоверно.

Эти результаты действительны только при соблюдении четырёх предположений биномиального распределения:

Фиксированное количество испытаний $n$, определённое до наблюдения результатов.
Два исхода на испытание — каждое испытание является успехом или неудачей.
Постоянная вероятность $p$ успеха на каждом испытании.
Независимость — результат одного испытания не влияет ни на какое другое.

Если испытания не являются независимыми или $p$ меняется между испытаниями (например, выборка без возвращения из небольшой совокупности), биномиальная модель является лишь приближением.

Часто задаваемые вопросы

Включает ли верхняя кумулятивная вероятность точку x? Да. Здесь $Q(X \ge x)$ учитывает точку $t = x$, то есть это именно $P(X \ge x)$, а не $P(X > x)$.

Что происходит при p=0 или p=1? По соглашению $0^{0} = 1$ при $p = 0$ получаем $f(0) = 1$, а все остальные вероятности равны 0; при $p = 1$ получаем $f(n) = 1$.

Почему «функция вероятности», а не «плотность»? Плотность относится к непрерывным распределениям; для дискретной величины каждый исход несёт конкретную вероятность, поэтому корректный термин — «функция (масса) вероятности».