Что вычисляет этот калькулятор
Это инструмент чистой математической статистики для экспоненциального распределения. Он находит процентную точку (её также называют квантилем или обратной функцией распределения) x по заданной кумулятивной вероятности и параметру масштаба b. Экспоненциальное распределение универсально — оно описывает время ожидания между независимыми событиями, происходящими с постоянной средней интенсивностью, — поэтому калькулятор одинаково применим в любой стране и любой области.
Как пользоваться
Сначала выберите режим вычисления вероятности. Вариант Нижняя вероятность P подходит, если введённое значение — это вероятность левого хвоста P (площадь слева от x). Вариант Верхняя вероятность Q используйте, если это вероятность правого хвоста Q (площадь справа). Введите значение вероятности от 0 до 1, затем задайте параметр масштаба b — он должен быть положительным. Масштаб b равен среднему значению распределения, при этом \(b = 1/\lambda\). Результат x выражается в тех же единицах, что и b.
Разбор формулы
Плотность вероятности экспоненциального распределения равна \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\) при \(x \ge 0\). Его нижняя функция распределения — \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\), а верхняя — \(Q(x) = \exp(-x/b)\). Обращая эти функции, получаем процентную точку. В нижнем режиме $$x = -b\cdot\ln(1 - P)$$ В верхнем режиме $$x = -b\cdot\ln(Q)$$ Обе формулы сводятся к \(x = -b\cdot\ln(Q)\), где Q — вероятность правого хвоста, а \(\ln\) — натуральный логарифм (по основанию e).
Пример расчёта
Пусть выбран нижний режим, вероятность P = 0,4 и масштаб b = 1. Тогда $$x = -1\cdot\ln(1 - 0{,}4) = -\ln(0{,}6) = 0{,}51083$$ Проверка: \(P(0{,}51083) = 1 - \exp(-0{,}51083) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Всё верно.
Частые вопросы
Что такое параметр масштаба b? Это среднее значение распределения, \(b = 1/\lambda\), где \(\lambda\) — интенсивность событий. Чем больше b, тем дольше в среднем приходится ждать события.
Почему результат может быть бесконечным? В нижнем режиме P = 1 (или в верхнем режиме Q = 0) соответствует всему хвосту распределения, из-за чего x уходит в бесконечность. В таком случае калькулятор сообщает об этом, а не выдаёт число.
Нижний или верхний режим — какой выбрать? Нижний режим выбирайте, когда известна кумулятивная вероятность до точки x (например, перцентиль или медиана). Верхний режим используйте, когда известна вероятность выживания или превышения за пределами x.
