यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह घातांकीय बंटन (exponential distribution) के लिए एक शुद्ध-गणित आधारित सांख्यिकीय टूल है। दी गई संचयी प्रायिकता और स्केल पैरामीटर b के आधार पर यह पर्सेंट पॉइंट (जिसे क्वांटाइल या उलटा संचयी बंटन फलन भी कहते हैं) x की गणना करता है। घातांकीय बंटन सार्वभौमिक है — यह किसी स्थिर औसत दर पर घटित होने वाली स्वतंत्र घटनाओं के बीच के प्रतीक्षा समय का मॉडल बनाता है — इसलिए यह कैलकुलेटर हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले संचयी मोड चुनें। यदि आपकी दर्ज की गई प्रायिकता निचली-पुच्छ प्रायिकता P है (यानी x के बायीं ओर का क्षेत्रफल), तो निचली संचयी P चुनें; और यदि वह ऊपरी-पुच्छ प्रायिकता Q है (x के दायीं ओर का क्षेत्रफल), तो ऊपरी संचयी Q चुनें। इसके बाद 0 और 1 के बीच की प्रायिकता का मान दर्ज करें, फिर स्केल पैरामीटर b डालें, जो धनात्मक होना चाहिए। स्केल b बंटन के माध्य के बराबर होता है, जहाँ \(b = 1/\lambda\)। परिणाम x उन्हीं इकाइयों में मिलता है जिनमें b दिया गया है।
सूत्र की व्याख्या
घातांकीय प्रायिकता घनत्व फलन है \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\), जहाँ \(x \ge 0\)। इसका निचला संचयी फलन है \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\), और ऊपरी संचयी फलन है \(Q(x) = \exp(-x/b)\)। इन्हें उलटने पर पर्सेंट पॉइंट मिलता है। निचले मोड में $$x = -b\cdot\ln(1 - P)$$ ऊपरी मोड में $$x = -b\cdot\ln(Q)$$ दोनों ही \(x = -b\cdot\ln(Q)\) पर सिमट जाते हैं, जहाँ Q ऊपरी-पुच्छ प्रायिकता है और ln प्राकृतिक लघुगणक (आधार e) है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए संचयी मोड निचला है, प्रायिकता \(P = 0.4\) और स्केल \(b = 1\)। तब $$x = -1\cdot\ln(1 - 0.4) = -\ln(0.6) = 0.51083$$ जाँच करें: \(P(0.51083) = 1 - \exp(-0.51083) = 1 - 0.6 = 0.4\)। सही है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
स्केल पैरामीटर b क्या है? यह बंटन का माध्य है, \(b = 1/\lambda\), जहाँ \(\lambda\) दर (rate) है। बड़ा b दर्शाता है कि घटनाओं में औसतन अधिक समय लगता है।
परिणाम अनंत (infinite) क्यों आ सकता है? निचले मोड में \(P = 1\) (या ऊपरी मोड में \(Q = 0\)) पूरी पुच्छ को दर्शाता है, जिससे x अनंत की ओर बढ़ जाता है। ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर कोई संख्या लौटाने के बजाय यही बताता है।
निचला बनाम ऊपरी मोड — मुझे कौन-सा चुनना चाहिए? निचला मोड तब चुनें जब आपको x तक की संचयी प्रायिकता पता हो (जैसे माध्यिका जैसा कोई परसेंटाइल)। ऊपरी मोड तब चुनें जब आपको x से आगे की उत्तरजीविता (survival) या अतिक्रमण (exceedance) प्रायिकता पता हो।
