एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

पर्सेंटाइल बिंदु x

स्केल पैरामीटर b

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Lower Cumulative Probability

   

   P(X <= x), the cumulative distribution function

2. Upper Cumulative (Survival) Probability

   

   P(X > x), the survival function

परिणाम

प्रायिकता घनत्व f(x)

0.135335

Lower cumulative probability P(X ≤ x)	0.864665
Upper cumulative probability P(X > x)	0.135335

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी चुने हुए बिंदु x पर दिए गए स्केल पैरामीटर b के लिए एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन का मान निकालता है। यह तीन परिणाम देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली (बाईं) संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और ऊपरी (दाईं) संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\)। एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन एक सार्वभौमिक गणितीय अवधारणा है — हर जगह एक समान — और इसका व्यापक रूप से प्रतीक्षा समय (waiting time), उत्पादों के जीवनकाल (lifetime), और स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं के बीच के अंतराल को मॉडल करने में उपयोग होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

एक ऋण-रहित (non-negative) पर्सेंटाइल बिंदु x और एक धनात्मक (strictly positive) स्केल पैरामीटर b दर्ज करें, फिर तीनों परिणाम देखें। यहाँ b स्केल है, जो डिस्ट्रिब्यूशन के माध्य (mean) के बराबर होता है; रेट पैरामीटर \(\lambda = 1/b\) होता है। यदि आपकी पाठ्यपुस्तक रेट के रूप में पैरामीटर देती है, तो दर्ज करने से पहले बस \(b = 1/\lambda\) सेट कर लें।

सूत्र की व्याख्या

जब \(x \ge 0\) और \(b > 0\) हो:

• घनत्व (Density): $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
• निचली संचयी (CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
• ऊपरी संचयी (Survival): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$

चूँकि सर्वाइवल पद \(e^{-x/b}\) एक बार ही गणना करके दोबारा उपयोग किया जाता है, इसलिए निचली और ऊपरी संचयी प्रायिकता का योग हमेशा ठीक 1 के बराबर होता है।

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क्षयमान घनत्व वक्र: x के बाईं ओर का क्षेत्रफल निचली संचयी प्रायिकता है, दाईं ओर का ऊपरी।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें \(x = 2\) और \(b = 1\)। तब अनुपात \(x/b = 2\) होगा, और \(e^{-2} \approx 0.135335\) होगा। इसलिए घनत्व $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0.135335 = 0.135335,$$ निचली संचयी प्रायिकता \(1 - 0.135335 = 0.864665\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(0.135335\) होगी। जाँच करें: \(0.864665 + 0.135335 = 1.0\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

स्केल पैरामीटर b क्या है? यह एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रिब्यूशन का माध्य (mean) है। \(b\) का बड़ा मान डिस्ट्रिब्यूशन को अधिक फैला देता है और शून्य के पास घनत्व को कम कर देता है।

अगर b रेट के रूप में दिया हो तो क्या करें? यदि आपके पास रेट \(\lambda\) है, तो \(b = 1/\lambda\) दर्ज करें। उदाहरण के लिए, रेट 0.5 का अर्थ है स्केल \(b = 2\)।

x = 0 पर क्या होता है? घनत्व \(1/b\) के बराबर होता है, निचली संचयी प्रायिकता 0 होती है, और ऊपरी संचयी प्रायिकता 1 होती है, क्योंकि अभी तक कोई समय व्यतीत नहीं हुआ है।