Công cụ này làm gì
Công cụ này tính giá trị của phân phối mũ tại một điểm x bạn chọn, ứng với tham số tỷ lệ b cho trước. Kết quả gồm ba đại lượng: mật độ xác suất f(x), xác suất tích lũy bên trái P(X ≤ x), và xác suất tích lũy bên phải P(X > x). Phân phối mũ là kiến thức toán học mang tính phổ quát — giống nhau ở mọi nơi — và được dùng rộng rãi để mô hình hóa thời gian chờ đợi, tuổi thọ thiết bị, hay khoảng cách giữa các sự kiện ngẫu nhiên độc lập.
Cách sử dụng
Nhập điểm phân vị x không âm và tham số tỷ lệ b dương thực sự, rồi đọc ba kết quả. Ở đây b là tỷ lệ (scale), bằng đúng giá trị trung bình của phân phối; còn tham số tốc độ là \(\lambda = 1/b\). Nếu giáo trình của bạn dùng cách tham số hóa theo tốc độ (rate), chỉ cần đặt \(b = 1/\lambda\) trước khi nhập vào.
Giải thích công thức
Với \(x \ge 0\) và \(b > 0\):
- Mật độ: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- Tích lũy bên trái (CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- Tích lũy bên phải (hàm sống sót): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
Vì số hạng sống sót \(e^{-x/b}\) chỉ được tính một lần rồi tái sử dụng, nên xác suất tích lũy bên trái và bên phải luôn cộng lại đúng bằng 1.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 2\) và \(b = 1\). Khi đó tỷ số \(x/b = 2\), và \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). Vậy mật độ là $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}135335,$$ tích lũy bên trái là \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\), và tích lũy bên phải là \(0{,}135335\). Kiểm tra lại: \(0{,}864665 + 0{,}135335 = 1{,}0\).
Câu hỏi thường gặp
Tham số tỷ lệ b là gì? Đó chính là giá trị trung bình của phân phối mũ. b càng lớn thì phân phối càng trải rộng và mật độ gần 0 càng thấp.
Nếu b là tốc độ (rate) thì sao? Nếu bạn có tốc độ \(\lambda\), hãy nhập \(b = 1/\lambda\). Ví dụ, tốc độ 0,5 tương ứng với tỷ lệ \(b = 2\).
Tại x = 0 thì điều gì xảy ra? Mật độ bằng \(1/b\), tích lũy bên trái bằng 0, và tích lũy bên phải bằng 1, vì chưa có thời gian nào trôi qua.
