Phân phối chi-bình phương phi tâm là gì?
Phân phối chi-bình phương phi tâm (noncentral chi-squared) là dạng tổng quát hóa của phân phối chi-bình phương thông thường (trung tâm) bằng cách bổ sung thêm tham số phi tâm lambda. Nó mô tả tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập có kỳ vọng (trung bình) khác 0. Phân phối này được dùng rộng rãi trong phân tích lực kiểm định (power analysis), phát hiện tín hiệu và kiểm định giả thuyết. Đây thuần túy là một công cụ toán học và áp dụng cho mọi nơi — không có quy tắc riêng nào theo từng quốc gia.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên hãy chọn đại lượng cần xuất ra: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P, hoặc xác suất tích lũy trên Q. Sau đó nhập bậc tự do nu (phải lớn hơn 0), tham số phi tâm lambda (phải lớn hơn hoặc bằng 0) và giá trị x tham chiếu. Bạn cũng có thể thiết lập giá trị x ban đầu, bước nhảy (step) và số dòng cần tạo để sinh ra bảng các cặp (x, giá trị) trên một khoảng giá trị.
Giải thích công thức
Phân phối chi-bình phương phi tâm là hỗn hợp của các phân phối chi-bình phương trung tâm, có trọng số theo phân phối Poisson(lambda/2). Trọng số của số hạng thứ j là \(w_j = e^{-\lambda/2}\,(\lambda/2)^{j}/j!\). Mật độ là
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$tức tổng của \(w_j\) nhân với mật độ chi-bình phương trung tâm có \(\nu+2j\) bậc tự do. Xác suất tích lũy dưới chính là hỗn hợp tương tự áp dụng cho hàm phân phối tích lũy (CDF) của chi-bình phương trung tâm, vốn dựa trên hàm gamma không đầy đủ dưới đã chuẩn hóa:
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$Xác suất tích lũy trên đơn giản là \(Q = 1 - P\).
Ví dụ minh họa
Với \(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\): các trọng số Poisson(0,5) là 0,6065; 0,3033; 0,0758; 0,0126; 0,0016. Giá trị CDF chi-bình phương trung tâm tại \(x=2\) ứng với 3, 5, 7, 9, 11 bậc tự do lần lượt là 0,4276; 0,1511; 0,0387; 0,0074; 0,0011. Tổng có trọng số cho \(P\) xấp xỉ 0,3082, nên \(Q\) xấp xỉ 0,6918. Mật độ \(f\) tại cùng điểm này xấp xỉ 0,173.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi lambda = 0? Phân phối thu gọn chính xác về phân phối chi-bình phương trung tâm với nu bậc tự do, vì chỉ còn số hạng j=0 tồn tại với trọng số bằng 1.
nu có thể là số không nguyên không? Có. Hàm gamma xử lý được mọi nu lớn hơn 0, nên bậc tự do dạng phân số vẫn hợp lệ.
Tại sao mật độ bằng 0 tại x = 0? Với nu từ 2 trở lên, mật độ bằng 0 tại gốc tọa độ; với nu nhỏ hơn 2 thì mật độ phân kỳ (tiến tới vô cùng), nên máy tính trả về 0 tại x = 0 như một giới hạn thực dụng.
