Máy tính phân vị phân phối Chi-Square là gì?
Công cụ này giúp bạn tìm điểm phần trăm (còn gọi là quantile hay phân vị, thường được nhắc đến như giá trị tới hạn) của phân phối chi-square. Khi bạn nhập một xác suất tích lũy cùng số bậc tự do, công cụ sẽ trả về giá trị x mà tại đó hàm phân phối tích lũy (CDF) của chi-square bằng đúng xác suất bạn cần. Đây chính là hàm nghịch đảo của CDF chi-square, được dùng rất phổ biến trong kiểm định giả thuyết, kiểm định độ phù hợp (goodness-of-fit), phân tích bảng tương liên (contingency table) và ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai.
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn kiểu xác suất tích lũy. Chọn "P tích lũy đuôi dưới" khi xác suất của bạn là P = P(X ≤ x) — tức diện tích phía bên trái của x. Chọn "Q tích lũy đuôi trên" khi xác suất là diện tích đuôi Q = P(X > x) — đây thường chính là mức ý nghĩa alpha trong kiểm định một phía. Tiếp theo, nhập giá trị xác suất (nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1) và số bậc tự do (nu, đôi khi ký hiệu là k). Máy tính sẽ cho ra giá trị chi-square x tương ứng.
Giải thích công thức
CDF của chi-square với \(\nu\) bậc tự do chính là hàm gamma không đầy đủ đuôi dưới đã chuẩn hóa: \(F(x;\nu) = \text{regularizedGammaP}(\nu/2,\, x/2)\). Điều chúng ta cần là hàm nghịch đảo của nó. Đặt \(a = \nu/2\) và xác suất mục tiêu \(p\) (với \(p = P\) ở chế độ đuôi dưới, hoặc \(p = 1 - Q\) ở chế độ đuôi trên), ta giải phương trình
$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$\(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) để tìm \(z\), sau đó suy ra \(x = 2z\). Bộ giải kết hợp khai triển chuỗi và phân số liên tục cho hàm gamma không đầy đủ, cùng với thuật toán tìm nghiệm Newton/chia đôi (bisection) để đảm bảo hội tụ.
Ví dụ minh họa
Giả sử dùng chế độ đuôi dưới với \(P = 0{,}95\) và \(\nu = 10\). Khi đó \(a = 5\) và ta giải \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0{,}95\), thu được \(z \approx 9{,}1535\), suy ra \(x = 2z \approx 18{,}307\). Kết quả này khớp đúng với giá trị tới hạn kinh điển \(\text{chi-square}(0{,}95;\,10) = 18{,}307\). Nếu dùng chế độ đuôi trên với \(Q = 0{,}05\) và \(\nu = 10\), ta có \(p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) và vẫn cho ra cùng kết quả \(x \approx 18{,}307\).
Câu hỏi thường gặp
P và Q khác nhau như thế nào? P là diện tích bên trái của x (đuôi dưới); Q là diện tích bên phải của x (đuôi trên), và luôn có \(P + Q = 1\).
Số bậc tự do có thể là số không nguyên không? Có. Công thức dựa trên hàm gamma hoạt động với mọi \(\nu > 0\), dù phần lớn các bảng thống kê chỉ dùng số nguyên.
Khoảng giá trị xác suất hợp lệ là bao nhiêu? Phải nằm hoàn toàn trong khoảng \(0 < \text{xác suất} < 1\). Tại 0 thì phân vị bằng 0; khi xác suất tiến dần đến 1 thì phân vị tăng lên vô hạn.
