Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi du khi-deux ?
Cet outil détermine le point de pourcentage (également appelé quantile ou percentile, et souvent désigné comme valeur critique) de la loi du khi-deux. À partir d'une probabilité cumulée et d'un nombre de degrés de liberté, il renvoie la valeur x pour laquelle la fonction de répartition (CDF) du khi-deux atteint la probabilité visée. Il s'agit de la réciproque de la CDF du khi-deux : on l'emploie couramment pour les tests d'hypothèses, les tests d'adéquation (goodness-of-fit), l'analyse des tableaux de contingence et le calcul d'intervalles de confiance sur une variance.
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord le mode de probabilité cumulée. Optez pour « P cumulée inférieure » lorsque votre probabilité correspond à \(P = P(X \le x)\), c'est-à-dire l'aire située à gauche de \(x\). Optez pour « Q cumulée supérieure » lorsque votre probabilité représente l'aire de la queue \(Q = P(X > x)\) — soit le seuil de signification alpha habituel dans un test unilatéral. Saisissez ensuite la probabilité (strictement comprise entre 0 et 1) et le nombre de degrés de liberté (nu, parfois noté \(k\)). Le calculateur vous renvoie la valeur \(x\) du khi-deux.
La formule expliquée
La CDF du khi-deux à nu degrés de liberté correspond à la fonction gamma incomplète inférieure régularisée : \(F(x ; \nu) = \text{regularizedGammaP}(\nu/2, x/2)\). Il nous faut sa réciproque. En posant \(a = \nu/2\) et la probabilité cible \(p\) (avec \(p = P\) en mode inférieur, ou \(p = 1 - Q\) en mode supérieur), on résout
$$x_p = F^{-1}\!\left(\text{p}\,;\,\nu\right)\ \text{such that}\ P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x_p}{2}\right) = \text{p}$$\(\text{regularizedGammaP}(a, z) = p\) pour \(z\), puis \(x = 2z\). Le solveur combine un développement en série et une fraction continue pour la gamma incomplète, associés à une recherche de racine par méthode de Newton / dichotomie afin de garantir la convergence.
Exemple détaillé
Prenons le mode inférieur, \(P = 0{,}95\), \(\nu = 10\). On a alors \(a = 5\) et l'on résout \(\text{regularizedGammaP}(5, z) = 0{,}95\), ce qui donne \(z \approx 9{,}1535\), soit \(x = 2z \approx 18{,}307\). On retrouve la valeur critique classique \(\chi^2(0{,}95 ; 10) = 18{,}307\). En mode supérieur, avec \(Q = 0{,}05\) et \(\nu = 10\), on obtient \(p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\) et le même résultat \(x \approx 18{,}307\).
FAQ
Quelle est la différence entre P et Q ? P désigne l'aire à gauche de \(x\) (queue inférieure) ; Q désigne l'aire à droite (queue supérieure), avec \(P + Q = 1\).
Les degrés de liberté peuvent-ils être non entiers ? Oui. La formule fondée sur la fonction gamma fonctionne pour tout \(\nu > 0\), même si la plupart des tables statistiques se limitent aux valeurs entières.
Quelle plage de probabilité est admise ? Strictement \(0 < \text{probabilité} < 1\). Pour 0, le quantile vaut 0 ; lorsque la probabilité tend vers 1, le quantile croît sans limite.
