Qu'est-ce que la loi géométrique ?
La loi géométrique modélise le nombre d'échecs qui surviennent avant le premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès p. Ce calculateur retient la convention « nombre d'échecs avant le premier succès » : la variable aléatoire x prend donc les valeurs 0, 1, 2, … et la fonction de masse s'écrit \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\). À noter : une autre forme courante compte le rang k de l'épreuve correspondant au premier succès (k = 1, 2, …) ; ce n'est pas celle utilisée ici, où \(x = k - 1\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre d'échecs avant le premier succès x (un entier positif ou nul) ainsi que la probabilité de succès par épreuve p (une valeur comprise entre 0 et 1). L'outil renvoie la fonction de masse \(f(x,p)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\), la probabilité cumulée supérieure \(P(X \ge x)\) et l'espérance (nombre moyen d'échecs attendu).
Les formules expliquées
Posons \(q = 1 - p\). La fonction de masse est $$f(x,p) = p\cdot q^{x}.$$ La somme cumulée inférieure se télescope pour donner $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}.$$ La queue supérieure vaut $$P(X \ge x) = q^{x}.$$ L'espérance est $$E[X] = \frac{1 - p}{p}.$$ Une identité utile : \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\), car les deux queues comptent toutes deux le point x.
Exemple détaillé
Avec x = 2 et p = 0,4 (donc q = 0,6) : $$f(2,\ 0{,}4) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}144.$$ Cumulée inférieure $$P(X \le 2) = 1 - 0{,}6^{3} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784.$$ Cumulée supérieure $$P(X \ge 2) = 0{,}6^{2} = 0{,}36.$$ Espérance \(= 0{,}6/0{,}4 = 1{,}5\). Vérification : \(0{,}784 + 0{,}36 - 0{,}144 = 1{,}000\).
FAQ
x compte-t-il l'épreuve réussie ? Non. Ici, x ne compte que les échecs précédant le premier succès ; x commence donc à 0. Si vous disposez du rang k de l'épreuve correspondant au premier succès, utilisez \(x = k - 1\).
Que se passe-t-il lorsque p = 1 ? Le succès est garanti dès la première épreuve : \(f(0,1) = 1\), \(f(x,1) = 0\) pour \(x \ge 1\), et l'espérance est nulle.
Pourquoi l'espérance n'est-elle pas définie lorsque p = 0 ? Si aucune épreuve ne réussit jamais, le nombre attendu d'échecs est infini : la formule \((1 - p)/p\) revient alors à diviser par zéro.
