什麼是幾何分布？
幾何分布用來描述在一連串獨立試驗中，「首次成功之前出現多少次失敗」的機率模型，其中每次試驗的成功機率皆相同，記為 p。本計算機採用「首次成功前的失敗次數」這套定義，因此隨機變數 x 的取值為 0、1、2、…，而其機率質量函數為 \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\)。請留意：另一種常見的定義方式是計算首次成功落在第幾次試驗 k（k = 1, 2, …），那並非本工具所採用的版本；兩者之間的關係為 \(x = k - 1\)。
如何使用本計算機
請輸入首次成功前的失敗次數 x（一個非負整數），以及每次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 之間的數值）。本工具會回傳機率質量 \(f(x,p)\)、下累積機率 \(P(X \le x)\)、上累積機率 \(P(X \ge x)\)，以及平均值（失敗次數的期望值）。
公式說明
令 \(q = 1 - p\)。機率質量為 $$f(x,p) = p\cdot q^{x}$$ 下累積和經過級數相消後可化簡為 $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$ 上尾機率為 $$P(X \ge x) = q^{x}$$ 平均值為 $$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$ 一個實用的恆等式是 \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\)，因為上下兩側的尾端都把點 x 算進去了一次。
實例演算
假設 x = 2、p = 0.4（因此 q = 0.6）：$$f(2, 0.4) = 0.4 \cdot 0.6^{2} = 0.4 \cdot 0.36 = 0.144$$ 下累積機率 $$P(X \le 2) = 1 - 0.6^{3} = 1 - 0.216 = 0.784$$ 上累積機率 $$P(X \ge 2) = 0.6^{2} = 0.36$$ 平均值 \(= 0.6/0.4 = 1.5\)。驗算：\(0.784 + 0.36 - 0.144 = 1.000\)。
常見問題
x 有沒有把成功的那一次試驗算進去？沒有。這裡的 x 只計算首次成功之前的失敗次數，因此 x 從 0 開始。如果你手上的是首次成功的試驗序號 k，請改用 \(x = k - 1\) 來換算。
當 p = 1 時會發生什麼事？第一次試驗就保證成功：\(f(0,1) = 1\)，當 \(x \ge 1\) 時 \(f(x,1) = 0\)，平均值為 0。
為什麼當 p = 0 時平均值沒有定義？如果沒有任何一次試驗會成功，失敗次數的期望值就是無限大，因此公式 \((1 - p)/p\) 會出現除以零的情況。
