Geometrik Dağılım Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

İlk başarıdan önceki başarısızlık sayısı x

Deneme başına başarı olasılığı p

Formül

Show calculation steps (3)

1. Cumulative P(X ≤ x)

   

   probability of at most x failures before the first success

2. Cumulative P(X ≥ x)

   

   probability of at least x failures before the first success

3. Mean (Expected Failures)

   

   expected number of failures before the first success

Sonuç

Olasılık yoğunluğu f(x,p)

0,144

P(X = x)

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,784
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,36
Beklenen değer (ortalama)	1,5

Geometrik dağılım nedir?

Geometrik dağılım, her birinin başarı olasılığı aynı olan p değerine sahip bağımsız denemeler dizisinde, ilk başarı elde edilmeden önce gerçekleşen başarısızlıkların sayısını modeller. Bu hesaplama aracı "ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısı" yaklaşımını kullanır; dolayısıyla x rastgele değişkeni 0, 1, 2, ... değerlerini alır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\) şeklindedir. Not: Yaygın olarak kullanılan başka bir biçimde, ilk başarının gerçekleştiği deneme numarası k sayılır (k = 1, 2, ...); burada kullanılan biçim o değildir; bu durumda \(x = k - 1\) olur.

Geometrik dağılım: ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısı arttıkça olasılık geometrik olarak azalır.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

İlk başarıdan önceki başarısızlık sayısı x (negatif olmayan bir tam sayı) ile deneme başına başarı olasılığı p (0 ile 1 arasında bir değer) bilgisini girin. Araç; olasılık yoğunluğu \(f(x,p)\) değerini, alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) değerini, üst kümülatif olasılık \(P(X \ge x)\) değerini ve ortalamayı (beklenen başarısızlık sayısı) döndürür.

Formüllerin açıklaması

\(q = 1 - p\) olsun. Olasılık yoğunluğu $$f(x,p) = p\cdot q^{x}$$ şeklindedir. Alt kümülatif toplam sadeleşerek $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$ sonucunu verir. Üst kuyruk ise $$P(X \ge x) = q^{x}$$ olur. Ortalama $$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$ ile bulunur. Kullanışlı bir özdeşlik şudur: \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\); çünkü iki kuyruk da x noktasını birlikte sayar.

Reklam

Her deneme (1-p) olasılıkla başarısız olur ve p olasılıkla ilk başarı gerçekleşene kadar sürer.

Çözümlü örnek

x = 2 ve p = 0,4 (yani q = 0,6) için: $$f(2;\ 0{,}4) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}144$$ Alt kümülatif $$P(X \le 2) = 1 - 0{,}6^{3} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784$$ Üst kümülatif $$P(X \ge 2) = 0{,}6^{2} = 0{,}36$$ Ortalama $$\frac{0{,}6}{0{,}4} = 1{,}5$$ Kontrol: \(0{,}784 + 0{,}36 - 0{,}144 = 1{,}000\).

Sıkça sorulan sorular

x, başarılı denemeyi de sayar mı? Hayır. Burada x yalnızca ilk başarıdan önceki başarısızlıkları sayar; bu nedenle x değeri 0'dan başlar. İlk başarının gerçekleştiği deneme numarası k elinizdeyse \(x = k - 1\) kullanın.

p = 1 olduğunda ne olur? Başarı, ilk denemede garantilidir: \(f(0;1) = 1\), \(x \ge 1\) için \(f(x;1) = 0\) ve ortalama 0'dır.

p = 0 olduğunda ortalama neden tanımsızdır? Hiçbir deneme başarıya ulaşmazsa beklenen başarısızlık sayısı sonsuz olur; bu yüzden \(\frac{1 - p}{p}\) formülü sıfıra bölme içerir.