什么是几何分布？
几何分布用于描述在一系列相互独立、每次成功概率均为 p 的试验中，首次成功之前出现失败次数的概率规律。本计算器采用"首次成功前的失败次数"这一约定，因此随机变量 x 的取值为 0、1、2……，其概率质量函数为 \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\)。需要注意：还有另一种常见写法是统计首次成功所在的试验序号 k（k = 1, 2, ...），本计算器并不采用那种形式，二者关系为 \(x = k - 1\)。
如何使用本计算器
输入首次成功前的失败次数 x（非负整数），以及每次试验的成功概率 p（取值介于 0 和 1 之间）。计算器会返回概率质量 \(f(x,p)\)、下侧累积概率 \(P(X \le x)\)、上侧累积概率 \(P(X \ge x)\)，以及均值（期望失败次数）。
公式详解
设 \(q = 1 - p\)。概率质量为 $$f(x,p) = p \cdot q^{x}$$ 下侧累积之和经过逐项相消可得 $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$ 上侧尾部概率为 $$P(X \ge x) = q^{x}$$ 均值为 $$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$ 一个实用的恒等式是 \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\)，因为上、下两侧尾部都把 x 这一点计入其中。
实例演算
取 x = 2、p = 0.4（则 q = 0.6）：$$f(2, 0.4) = 0.4 \cdot 0.6^{2} = 0.4 \cdot 0.36 = 0.144$$ 下侧累积 $$P(X \le 2) = 1 - 0.6^{3} = 1 - 0.216 = 0.784$$ 上侧累积 $$P(X \ge 2) = 0.6^{2} = 0.36$$ 均值 \(= 0.6/0.4 = 1.5\)。验证：\(0.784 + 0.36 - 0.144 = 1.000\)。
常见问题
x 是否包含那次成功的试验？不包含。这里 x 只统计首次成功之前的失败次数，因此 x 从 0 开始。如果你手头是首次成功所在的试验序号 k，请改用 \(x = k - 1\)。
当 p = 1 时会怎样？第一次试验必然成功：\(f(0,1) = 1\)，而当 \(x \ge 1\) 时 \(f(x,1) = 0\)，均值为 0。
为什么 p = 0 时均值没有定义？如果任何一次试验都不可能成功，则期望失败次数为无穷大，因此公式 \((1 - p)/p\) 会出现除以零的情况。
