几何分布百分位数（分位数）计算器

输入计算

累积模式 Lower cumulative P Upper cumulative Q

累积概率

每次试验的成功概率 p

结果

百分位点 x（失败次数，整数）

3

使累积概率达到目标的最小整数 x

连续（实数）解	2.1506601031

这个计算器有什么用

本工具用于求几何分布的百分位数（分位数）：给定一个累积概率和每次试验的成功概率 p，反推出对应的取值 x。这里的几何分布表示首次成功之前的失败次数，取值范围为 x = 0, 1, 2, 3, …。其概率质量函数为 f(x, p) = p(1 - p)^x。

几何分布：首次成功前需要 x 次失败（或试验）的概率，呈几何级数递减。

两种累积概率约定

你可以从任意一侧的尾部入手。下尾累积 P(x, p) = 1 - (1 - p)^x+1 表示失败次数不超过 x 的概率。上尾累积 Q(x, p) = (1 - p)^x 表示失败次数至少为 x 的概率。请先选择对应的模式，再填入相应的概率值。

Advertisement

同一几何分布下的下尾概率 P（左）与上尾概率 Q（右）对比。

公式详解

令 q = 1 - p。对下尾 CDF 求逆：由 1 - q^x+1 = P 得 x = ln(1 - P)/ln(q) - 1。对上尾 CDF 求逆：由 q^x = Q 得 x = ln(Q)/ln(q)。由于 x 必须是整数失败次数，因此给出的百分位数取 ceil(x)（向上取整），并保证不小于 0。同时也会显示连续的实数解，便于需要更高精度的计算。

实例演算

下尾模式，P = 0.8，p = 0.4。则 q = 0.6，ln(0.6) = -0.5108256。x = ln(0.2)/ln(0.6) - 1 = (-1.6094379)/(-0.5108256) - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035。向上取整得到整数百分位数 x = 3。验证：P(3) = 1 - 0.6⁴ = 0.8704 ≥ 0.8，而 P(2) = 0.784 < 0.8，因此确认 x = 3。

常见问题

为什么用向上取整得到百分位数？整数分位数是使累积概率首次达到目标值的最小 x，所以要把连续解向上取整。

如果 p = 0 或 p = 1 会怎样？当 p = 0 时永远不会成功，因此分位数无定义/趋于无穷。当 p = 1 时，全部概率集中在 x = 0，所以分位数为 0。

P 可以正好等于 1 吗？在下尾模式中，没有任何有限的 x 能使 P = 1（CDF 只会无限趋近于 1），所以这种输入会被标记为无定义。