什么是Beta分布计算器？
Beta分布是定义在区间[0, 1]上的连续型概率分布，由两个正的形状参数a和b决定。它在贝叶斯统计（作为概率的共轭先验）、可靠性分析、项目进度管理（PERT计划评审技术）以及比例建模等场景中应用广泛。本计算器可在一系列x取值上计算概率密度函数f(x)、下侧累积概率P(x)（即累积分布函数CDF）以及上侧累积概率Q(x)（即生存函数），并绘制出所选函数的折线图。
使用方法
首先选择要计算的函数，然后输入形状参数a和b（两者都必须大于0），再设置x的起始值、步长以及行数。工具会依次在x = 起始值、起始值 + 步长、起始值 + 2×步长……等点上计算所选函数。使用默认设置（起始值0、步长0.01、101行）时，可得到从x = 0.00到x = 1.00的完整取值。结果会显示首个x对应的数值、完整的数据表以及对应图像。
公式详解
概率密度为 $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$ 其中Beta函数 $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ 用于将曲线下面积归一化为1。为保证数值稳定性，我们采用对数伽马函数（Lanczos近似）进行运算，因此 \(B(a,b)\) 通过 \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\) 计算。下侧累积概率等于正则化不完全Beta函数 \(I_x(a,b)\)，采用《Numerical Recipes》中的连分式方法（betacf/betai）求得。上侧累积概率则直接由 \(Q = 1 - P\) 得到。
计算实例
设 \(a = 2\)，\(b = 3\)，\(x = 0.3\)。此时 $$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0.0833333$$ 因此 $$f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764$$ 下侧累积概率 \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\)，上侧累积概率 \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\)。
关键公式与矩
Beta分布是定义在支集区间 \([0,1]\) 上的连续概率分布，由两个正形状参数 \(a>0\) 和 \(b>0\) 控制。其概率密度函数为
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$规范化常数 \(B(a,b)\) 是Beta函数，通过Gamma函数表示为
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$主要矩和形状描述符总结如下。
| 量 | 公式 | 条件 |
|---|---|---|
| 均值 | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | 所有 \(a,b>0\) |
| 方差 | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | 所有 \(a,b>0\) |
| 众数 | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| 偏度 | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | 所有 \(a,b>0\) |
例如，当 \(a=2\) 和 \(b=5\) 时，均值为 \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\)，方差为 \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\)。由于两个参数都超过1，众数为 \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\)。当 \(a=b\) 时，分布关于 \(x=0.5\) 对称，偏度为零；当 \(b>a\) 时，分布右偏；当 \(a>b\) 时，分布左偏。特殊情况 \(a=b=1\) 退化为 \([0,1]\) 上的标准均匀分布。
定义与词汇表
- 形状参数 a
- 第一个正形状参数（\(a>0\)）。它控制密度在 \(x=0\) 附近的行为：当 \(a<1\) 时将质量推向0（密度发散），\(a=1\) 时给出有限的端点，\(a>1\) 时密度在0处消失。较大的 \(a\) 相对于 \(b\) 会将均值向1移动。
- 形状参数 b
- 第二个正形状参数（\(b>0\)）。它以与 \(a\) 控制0附近行为的镜像方式控制 \(x=1\) 附近的密度。较大的 \(b\) 相对于 \(a\) 会将均值向0移动。
- 概率密度函数 f(x)
- 随机变量取值 \(x\) 的相对可能性，由 \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) 给出（当 \(0\le x\le 1\) 时），其他位置为0。\(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上的面积等于1。
- 下累积概率 P(x) / 累积分布函数
- 累积分布函数，\(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\)。它等于正则化不完全Beta函数 \(I_x(a,b)\)，从 \(x=0\) 处的0单调递增到 \(x=1\) 处的1。
- 上累积概率 Q(x) / 生存函数
- 互补（尾部）概率，\(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\)。它从 \(x=0\) 处的1单调递减到 \(x=1\) 处的0。
- Beta函数 B(a,b)
- 分布的规范化常数，\(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)。它是对称的：\(B(a,b)=B(b,a)\)。
- Gamma函数 \(\Gamma(z)\)
- 阶乘的连续延拓，由 \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) 定义，对于正整数 \(n\) 有 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)，且满足递推关系 \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\)。
- 正则化不完全Beta函数 \(I_x(a,b)\)
- 比值 \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)，范围从0到1，恰好是Beta分布的累积分布函数，因此 \(P(x)=I_x(a,b)\)。
常见问题
x的取值范围是多少？ Beta分布定义在[0, 1]区间上，在此区间之外，密度值为0。
a和b分别控制什么？ 它们决定曲线的形状：当\(a = b = 1\)时为均匀分布；取值较大时，概率质量会集中在均值\(a/(a+b)\)附近；取值小于1时，则会把概率质量推向区间两端。
为什么密度在两端附近会非常大？ 当\(a < 1\)时，密度会在x趋近于0时发散；当\(b < 1\)时，密度会在x趋近于1时发散。这些端点情形会通过极限规则进行处理。
