Beta Dağılımı Hesaplama Aracı nedir?
Beta dağılımı, [0, 1] aralığında tanımlı, a ve b adında iki pozitif şekil parametresiyle yönetilen sürekli bir olasılık dağılımıdır. Bayesçi istatistikte (olasılıklar için eşlenik önsel dağılım olarak), güvenilirlik analizinde, proje planlamada (PERT) ve oranları modellemede yaygın olarak kullanılır. Bu araç; olasılık yoğunluk fonksiyonu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(x)\) (kümülatif dağılım fonksiyonu) ve üst kümülatif olasılık \(Q(x)\) (sağkalım fonksiyonu) değerlerini bir x değerleri dizisi üzerinde hesaplar ve seçtiğiniz fonksiyonun çizgi grafiğini çizer.
Nasıl kullanılır?
Önce hesaplamak istediğiniz fonksiyonu seçin, ardından a ve b şekil parametrelerini girin (her ikisi de 0'dan büyük olmalıdır). Sonrasında başlangıç x değerini, adım büyüklüğünü ve satır sayısını belirleyin. Araç seçili fonksiyonu x = başlangıçX, başlangıçX + adım, başlangıçX + 2·adım şeklinde art arda hesaplar. Varsayılan değerlerle (başlangıç 0, adım 0,01, 101 satır) x = 0,00'dan x = 1,00'a kadar eksiksiz bir tarama elde edersiniz. Sonuçta ilk x değerindeki sonuç, eksiksiz bir tablo ve bir grafik görüntülenir.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$ şeklindedir; burada beta fonksiyonu \(B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\), eğri altındaki alanı 1'e normalize eder. Sayısal kararlılık için log-gama fonksiyonuyla (Lanczos yaklaşımı) çalışırız; böylece \(B(a,b)\) değeri \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\) olarak hesaplanır. Alt kümülatif olasılık, düzenlenmiş eksik beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\) değerine eşittir ve Numerical Recipes'in sürekli kesir yöntemiyle (betacf/betai) hesaplanır. Üst kümülatif olasılık ise basitçe \(Q = 1 - P\) olur.
Çözümlü örnek
a = 2, b = 3, x = 0,3 alalım. Burada \(B(2,3) = (1\cdot 2)/24 = 0{,}0833333\) olur; dolayısıyla $$f(0{,}3) = 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^2 = 12 \cdot 0{,}147 = 1{,}764$$ olur. Alt kümülatif olasılık \(P(0{,}3) = I_{0,3}(2,3) = 0{,}3483\) ve üst kümülatif olasılık \(Q(0{,}3) = 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517\) olur.
Temel Formüller ve Momentler
Beta dağılımı, \([0,1]\) destek aralığında tanımlanan ve iki pozitif şekil parametresi \(a>0\) ve \(b>0\) tarafından yönetilen sürekli bir olasılık dağılımıdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$Normalleştirme sabiti \(B(a,b)\) beta fonksiyonudur ve gama fonksiyonları kullanılarak şu şekilde ifade edilir:
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$Ana momentler ve şekil göstergeleri aşağıda özetlenmiştir.
| Büyüklük | Formül | Koşullar |
|---|---|---|
| Ortalama | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | tüm \(a,b>0\) |
| Varyans | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | tüm \(a,b>0\) |
| Mod | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| Çarpıklık | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | tüm \(a,b>0\) |
Örneğin, \(a=2\) ve \(b=5\) ile ortalama \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) ve varyans \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\) dir. Her iki parametre de 1'den büyük olduğundan, mod \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\) dir. \(a=b\) olduğunda dağılım \(x=0.5\) hakkında simetrik ve çarpıklık sıfırdır; \(b>a\) olduğunda sağa çarpık ve \(a>b\) olduğunda sola çarpıktır. Özel durum \(a=b=1\) standart uniform dağılımına \([0,1]\) üzerinde indirgenmiştir.
Tanımlar ve Sözlük
- Şekil parametresi a
- İlk pozitif şekil parametresi (\(a>0\)). \(x=0\) yakınında yoğunluğun davranışını kontrol eder: \(a<1\) değerleri kütleyi 0'a doğru itler (yoğunluk saparak), \(a=1\) sonlu bir uç nokta verir ve \(a>1\) yoğunluğu 0'da yok eder. \(a\) 'nın \(b\) 'ye göre daha büyük değerleri ortalamayı 1'e doğru kaydırır.
- Şekil parametresi b
- İkinci pozitif şekil parametresi (\(b>0\)). \(x=1\) yakınında yoğunluğu kontrol eder ve \(a\) 'nın 0 yakınındaki davranışını yönetme biçiminin ayna görüntüsüdür. \(b\) 'nin \(a\) 'ya göre daha büyük değerleri ortalamayı 0'a doğru kaydırır.
- Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)
- \(0\le x\le 1\) için \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) ile verilen rastgele değişkenin \(x\) değerini alma nispi olasılığı ve başka yerde 0. \(f(x)\) altındaki alan \([0,1]\) üzerinde 1'e eşittir.
- Alt kümülatif olasılık P(x) / KDF
- Kümülatif dağılım fonksiyonu, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). Düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\) 'ye eşittir ve \(x=0\) 'da 0'dan \(x=1\) 'de 1'e kadar monoton olarak artar.
- Üst kümülatif olasılık Q(x) / hayatta kalma fonksiyonu
- Tamamlayıcı (kuyruk) olasılığı, \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). \(x=0\) 'da 1'den \(x=1\) 'de 0'a kadar azalır.
- Beta fonksiyonu B(a,b)
- Dağılımın normalleştirme sabiti, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Simetrik: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Gama fonksiyonu \(\Gamma(z)\)
- \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) ile tanımlanan faktoriyelim sürekli uzantısı, pozitif tam sayılar \(n\) için \(\Gamma(n)=(n-1)!\) ve yinelenme \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- Düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\)
- \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) oranı, 0'dan 1'e değişir ve tam olarak Beta dağılımının KDF'sidir, bu nedenle \(P(x)=I_x(a,b)\).
Sıkça Sorulan Sorular
x hangi aralıkta değer alabilir? Beta dağılımı [0, 1] aralığında yaşar; bu aralığın dışında yoğunluk 0'dır.
a ve b neyi belirler? Eğrinin biçimini şekillendirir: a = b = 1 düzgün (uniform) dağılımı verir, büyük değerler kütleyi \(a/(a+b)\) ortalaması çevresinde yoğunlaştırır, 1'in altındaki değerler ise kütleyi kenarlara doğru iter.
Yoğunluk neden kenarlarda çok büyük olabilir? a < 1 olduğunda yoğunluk x sıfıra yaklaşırken ıraksar; b < 1 olduğunda ise x bire yaklaşırken ıraksar. Bu uç noktalar limit kurallarıyla ele alınır.
