Binom Dağılımı Hesaplama | Olasılık ve Kümülatif

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,7553372
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,40440127
Expectation (mean) = n·p	8

Binom Dağılımı Hesaplama Aracı nedir?

Bu araç, sabit sayıda bağımsız deneme için binom dağılımını hesaplar. Başarı sayısı x, deneme sayısı n ve tek bir denemedeki başarı olasılığı p verildiğinde; tam olarak x başarı elde etme olasılığını (olasılık kütlesi), alt kümülatif olasılığı, üst kümülatif olasılığı ve ortalamayı döndürür. Binom modeli, aynı evet/hayır deneyini sabit bir başarı olasılığıyla belirli bir sayıda tekrarladığınız her durumda geçerlidir: yazı-tura atışları, bir partideki kusurlu parçalar veya rastgele tahminle doğru cevaplanan test soruları gibi.

Her başarı sayısı için binom olasılık kütlesini gösteren çubuk grafik — Binom olasılık kütle fonksiyonu, n denemede olası her başarı sayısı x için olasılığı verir.

Nasıl kullanılır?

Üç saf sayı girin. Başarı sayısı x ile deneme sayısı n, 0 ≤ x ≤ n ve n ≥ 1 koşulunu sağlayan tam sayılar olmalıdır. Olasılık p ise 0 ile 1 arasında bir değer almalıdır. Hesapla düğmesine basarak dört sonucu tek seferde elde edin. Bunun kesikli (ayrık) bir dağılım olduğunu unutmayın; dolayısıyla öne çıkan değer bir olasılık kütlesidir (gerçek bir olasılıktır), olasılık yoğunluğu değildir.

Formülün açıklaması

Olasılık kütlesi

$$f(x,n,p) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}$$

şeklindedir; burada $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ ifadesi, n deneme içinde x başarının kaç farklı şekilde oluşabileceğini sayan binom katsayısıdır. Alt kümülatif olasılık $P(X \le x)$, t = 0'dan x'e kadar $f(t)$ değerlerinin toplamıdır; üst kümülatif $Q(X \ge x)$ ise t = x'ten n'e kadar $f(t)$ değerlerinin toplamıdır. t = x noktası her iki toplama da dahil edildiğinden $P + Q - f(x) = 1$ olur. Ortalama ise basitçe $\mu = n \cdot p$'dir. Katsayılar, büyük n değerlerinde sayısal kararlılığı korumak için logaritmik faktöriyellerle hesaplanır.

Reklam

Binom formülünü kombinasyonlar, p üzeri x ve (1-p) üzeri n eksi x olarak ayıran şema — Formül, dizilişlerin sayısını başarı ve başarısızlık olasılıklarıyla çarpar.

Çözümlü örnek

x = 9, n = 20, p = 0.4 için: $\binom{20}{9} = 167960$, $p^{9} = 0.000262144$ ve $0.6^{11} \approx 0.0036279706$. Buradan

$$f = 167960 \times 0.000262144 \times 0.0036279706 \approx 0.15974$$

bulunur. Ortalama $20 \times 0.4 = 8$'dir. Toplamlar $P(X \le 9) \approx 0.75534$ ve $Q(X \ge 9) \approx 0.40440$ verir; bunlar $0.75534 + 0.40440 - 0.15974 \approx 1$ eşitliğini sağlar.

Tanımlar & Sözlük

Binom dağılımı, sabit sayıda bağımsız evet/hayır deneylerde başarı sayısını modeller. Aşağıdaki terimler bu hesaplayıcı boyunca görünür.

Deneme: iki olası sonuçtan birini veren deneyin tek bir tekrarı (örn. bir yazı tura atışı).
Başarı: sayılan sonuç, neyi başarı olarak tanımlıyor olursanız (yazı, kusurlu bir parça, doğru bir tahmin). Tamamlayıcısı "başarısızlık"tır.
n (deneme sayısı): gerçekleştirilen toplam bağımsız deneme sayısı. Sabit bir pozitif tam sayı olmalıdır.
x (başarı sayısı): olasılığını istediğiniz başarıların belirli sayısı, burada $0 \le x \le n$.
p (başarı olasılığı): herhangi bir denemenin başarı olması olasılığı, 0 ile 1 arasında bir ondalık sayı.
q = 1 − p (başarısızlık olasılığı): tek bir denemenin başarısız olması olasılığı.
Binom katsayısı $\binom{n}{x}$: $n$ denemenin hangilerinin $x$ tanesinin başarı olacağını seçmenin farklı yollarının sayısı, $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$ olarak hesaplanır.
Olasılık kütle fonksiyonu (pmf), $f(x)$: tam olarak $x$ başarı olasılığı, $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
Alt kümülatif olasılık, $P(X \le x)$: en fazla $x$ başarı olasılığı, 0'dan $x$'e kadar pmf değerlerinin toplamı.
Üst kümülatif olasılık, $P(X \ge x)$: en az $x$ başarı olasılığı, $x$'ten $n$'ye kadar pmf değerlerinin toplamı.
Ortalama (beklenen değer), $\mu = np$: birçok tekrarlama üzerinde beklenen ortalama başarı sayısı.
Varyans, $\sigma^{2}=np(1-p)$: dağılımın ortalamasının etrafındaki yayılması.
Standart sapma, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$: başarı sayısının ortalamasından tipik sapması, $x$ ile aynı birimlerde.

Reklam

Sonucunuzu Yorumlama

Bu hesaplayıcı üç olasılık ve ortalama döndürür. Sorunuzun ifadesine uyan olanı seçin:

pmf, $f(x)=P(X=x)$ — tam olarak $x$ başarı şansı istediğinizde kullanın, örn. "10 atışta tam olarak 5 yazı."
Alt kümülatif, $P(X \le x)$ — en fazla $x$ ("$x$ veya daha az") için kullanın, örn. "5 veya daha az doğru cevap."
Üst kümülatif, $P(X \ge x)$ — en az $x$ ("$x$ veya daha fazla") için kullanın, örn. "en az 1 kusurlu parça."

Kümülatif parçaların $x$ değerinde örtüştüğüne dikkat edin: $P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)$, çünkü her iki aralık da $x$ değerini içerir. $x$'ten kesinlikle daha az almak için $P(X \le x-1)$ kullanın; $x$'ten kesinlikle daha fazla almak için $P(X \ge x+1)$ kullanın.

Ortalama $np$ beklenen başarı sayısıdır — tüm $n$ denemeli deneyi birçok kez tekrarlasanız uzun vadede ortalama. Tam sayı olmak zorunda değildir; 4,5'lik bir beklenen değer basitçe bir ortalamayı tanımlar.

Tüm olasılıklar 0 ile 1 arasında ondalık olarak rapor edilir (yüzde için 100 ile çarpın). 0'a yakın bir değer olayın nadir olduğu anlamına gelir; 1'e yakın, neredeyse kesin.

Bu sonuçlar yalnızca dört binom varsayımı geçerli olduğunda geçerlidir:

Deneme sayısı sabit $n$, sonuçlar gözlemlenmeden önce belirlenmiştir.
Deneme başına iki sonuç — her deneme bir başarı veya başarısızlıktır.
Her denemede başarının sabit olasılığı $p$.
Bağımsızlık — bir denemenin sonucu başka herhangi birini etkilemez.

Denemeler bağımsız değilse veya $p$ denemeler arasında değişirse (örneğin, küçük bir popülasyondan yerine koyulmadan örnekleme), binom modeli yalnızca bir yaklaşımdır.

Sıkça sorulan sorular

Üst kümülatif olasılık x değerini içerir mi? Evet. Burada $Q(X \ge x)$, t = x noktasını da kapsar; yani bu değer $P(X \ge x)$'tir, $P(X > x)$ değildir.

p = 0 veya p = 1 olduğunda ne olur? $0^{0} = 1$ kabulü kullanıldığında, p = 0 için $f(0) = 1$ ve diğer tüm olasılıklar 0 olur; p = 1 için ise $f(n) = 1$ olur.

Neden "yoğunluk" değil de "olasılık kütlesi"? Yoğunluk sürekli dağılımlar için geçerlidir; kesikli bir değişkende her sonuç gerçek bir olasılık taşır, bu yüzden doğru terim "kütle"dir.