Negatif binom dağılımı nedir?
Negatif binom dağılımı, her birinde başarı olasılığı p olan bağımsız Bernoulli denemeleri dizisinde k. başarıya ulaşılmadan önce gerçekleşen başarısızlık sayısı x'i modeller. Bu hesaplama aracı "k. başarıdan önceki başarısızlık sayısı" parametrelemesini kullanır; dolayısıyla rastgele değişken x = 0, 1, 2, ... değerlerini alır. Araç; olasılık kütlesi f'yi, alt kümülatif olasılık P'yi veya üst (sağ kuyruk / survival) olasılık Q'yu döndürür ve seçtiğiniz fonksiyonu bir x değer aralığı boyunca tablo halinde sunar.
Nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu hesaplayacağınızı seçin: f (olasılık kütlesi), P (alt kümülatif) veya Q (üst kümülatif). Ardından gerekli başarı sayısı k'yı (pozitif tam sayı), deneme başına başarı olasılığı p'yi (0 ile 1 arasında), başlangıç x değerini, satırlar arasındaki adım miktarını ve oluşturulacak satır sayısını girin. Tablo her bir x değerini ve karşılık gelen olasılığı listeler; ayrıca başarısızlık sayısının ortalaması ve varyansı da gösterilir.
Formülün açıklaması
Olasılık kütle fonksiyonu $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ şeklindedir; burada C binom katsayısıdır. Alt kümülatif dağılım $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ \(t=0\)'dan \(x\)'e kadar \(f(t,k,p)\)'nin toplamıdır (\(\Sigma\)). Üst kümülatif (sağ kuyruk / survival) fonksiyon \(Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)\) olup, \(t \ge x\) olan tüm değerler için \(f(t)\)'nin toplamına eşittir. Beklenen başarısızlık sayısı (ortalama) \(k(1-p)/p\), varyans ise \(k(1-p)/p^{2}\) olur.
Çözümlü örnek
\(k = 4\), \(p = 0.4\) için \(f(x=2)\)'yi bulalım: \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0.0256\), \((0.6)^{2} = 0.36\) olduğundan $$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$ çıkar. Alt kümülatif $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$ dir. Sağ kuyruk $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$ olur.
Sık sorulan sorular
x başarıları mı yoksa başarısızlıkları mı sayar? Burada x, k. başarıdan önceki başarısızlıkları sayar. Toplam deneme sayısı x + k olur.
p = 1 olursa ne olur? Hiç başarısızlık mümkün değildir; bu nedenle \(f(0) = 1\), \(x > 0\) için ise \(f(x) = 0\) olur.
p = 0 olursa ne olur? Dağılım dejeneredir (sonsuz sayıda başarısızlık beklenir) ve her sonlu x değeri için \(f(x) = 0\) olur.
