Bu hesaplayıcı ne yapar
Negatif Binom Ortalama ve Varyans Hesaplayıcı, bir negatif binom dağılımının ilk iki momentini döndürür. Standart "başarılardan önceki başarısızlıklar" parametrelendirmesinde, X rastgele değişkeni, her denemenin p olasılığıyla başarılı olduğu bağımsız Bernoulli denemeleri dizisinde r'inci başarıdan önce gerçekleşen başarısızlıkların sayısını sayar. r ve p değerlerini girin; araç X'in ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını verir.
Nasıl çalışır
Her deneme, sabit bir p başarı olasılığına sahip bağımsız bir başarı-veya-başarısızlık deneyidir. r başarı biriktirene kadar örneklemeye devam edersiniz; X ise bu süreçte gözlenen başarısızlıkların sayısıdır. X, her biri tek bir başarıdan önceki başarısızlıkları sayan r bağımsız geometrik değişkenin toplamı olarak yazılabildiğinden, ortalaması ve varyansı tam olarak tek bir geometrik terimin ortalaması ile varyansının r katıdır. Bu, yalnızca r ve p'ye bağlı kapalı biçimli ifadeler verir.
Formül
X'in ortalaması, varyansı ve standart sapması şöyledir:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$Burada r hedeflenen başarı sayısı, p ise deneme başına başarı olasılığıdır ve 0 < p <= 1 koşulunu sağlar. Varyansın her zaman ortalamadan 1/p katı daha büyük olduğuna dikkat edin; bu nedenle negatif binom, Poisson'a kıyasla aşırı dağılımlıdır (over-dispersed).
Çözümlü örnek
Diyelim ki r = 5 başarıya ihtiyacınız var ve her deneme p = 0.5 olasılıkla başarılı oluyor. 5'inci başarıdan önceki ortalama başarısızlık sayısı 5(1 - 0.5)/0.5 = 5'tir. Varyans 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10 olur, dolayısıyla standart sapma sqrt(10), yani yaklaşık 3.16'dır. Ortalamada kabaca 5 başarısızlık beklersiniz; bu ortalamanın çevresinde tipik yayılım ise yaklaşık 3 başarısızlık kadardır.
SSS
Bu hesaplayıcı hangi negatif binom parametrelendirmesini kullanır? Standart "r'inci başarıdan önceki başarısızlık sayısı" kuralını kullanır, dolayısıyla ortalama r(1-p)/p'dir. Ders kitabınız başarısızlıklar yerine toplam deneme sayısını sayıyorsa, iki kural arasında dönüşüm yapmak için ortalamaya r ekleyin.
r bir tam sayı olmak zorunda mı? Klasik sayma yorumunda r pozitif bir tam sayıdır, ancak ortalama ve varyans formülleri herhangi bir gerçek r > 0 için geçerliliğini korur; bu durum genelleştirilmiş (Polya) negatif binom dağılımında ortaya çıkar.
p, 1'e yaklaştığında ne olur? p, 1'e yakın olduğunda neredeyse her deneme başarılı olur, dolayısıyla neredeyse hiç başarısızlık olmaz ve hem ortalama hem de varyans 0'a yaklaşır. p küçüldükçe başarısızlıklar birikir ve her iki moment de hızla büyür.
