ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُرجع حاسبة المتوسط والتباين للتوزيع ذي الحدين السالب أول عزمين لهذا التوزيع. في المعاملة القياسية "عدد حالات الفشل قبل النجاحات"، يَعُدّ المتغير العشوائي X عددَ حالات الفشل التي تحدث قبل النجاح رقم r في سلسلة من محاولات برنولي المستقلة، حيث تنجح كل محاولة باحتمال p. أدخِل r و p، وستُظهر الأداة متوسط X وتباينه وانحرافه المعياري.
كيف تعمل
كل محاولة هي تجربة مستقلة نتيجتها نجاح أو فشل باحتمال نجاح ثابت p. تستمر في السحب حتى تجمع r نجاحًا؛ وX هو عدد حالات الفشل المرصودة خلال ذلك. ولأنه يمكن كتابة X كمجموع r متغيرًا هندسيًا مستقلًا، يَعُدّ كل منها حالات الفشل قبل نجاح واحد، فإن متوسطه وتباينه يساويان تمامًا r ضعف متوسط وتباين حدٍّ هندسي واحد. وهذا يعطي صيغًا مغلقة الشكل تعتمد على r و p فقط.
الصيغة
متوسط X وتباينه وانحرافه المعياري هي:
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$هنا r هو العدد المستهدف من النجاحات وp هو احتمال النجاح لكل محاولة، مع 0 < p <= 1. لاحظ أن التباين أكبر دائمًا من المتوسط بعامل مقداره 1/p، لذا فإن التوزيع ذا الحدين السالب مفرط التشتت مقارنةً بتوزيع بواسون.
مثال محلول
لنفترض أنك تحتاج إلى r = 5 نجاحات وأن كل محاولة تنجح باحتمال p = 0.5. متوسط عدد حالات الفشل قبل النجاح الخامس هو 5(1 - 0.5)/0.5 = 5. والتباين هو 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10، فيكون الانحراف المعياري sqrt(10) أي نحو 3.16. في المتوسط تتوقع نحو 5 حالات فشل، مع تشتّت نموذجي يقارب 3 حالات فشل حول هذا المتوسط.
الأسئلة الشائعة
أي معاملة للتوزيع ذي الحدين السالب تستخدمها هذه الحاسبة؟ تستخدم العُرف القياسي "عدد حالات الفشل قبل النجاح رقم r"، لذا فإن المتوسط هو r(1-p)/p. إذا كان كتابك يَعُدّ إجمالي المحاولات بدلًا من حالات الفشل، فأضِف r إلى المتوسط للتحويل بين العُرفين.
هل يجب أن يكون r عددًا صحيحًا؟ في التفسير التقليدي للعدّ يكون r عددًا صحيحًا موجبًا، لكن صيغتي المتوسط والتباين تبقيان صالحتين لأي قيمة حقيقية r > 0، وهو ما يحدث في التوزيع ذي الحدين السالب المعمّم (بوليا).
ماذا يحدث عندما يقترب p من 1؟ عندما يكون p قريبًا من 1 تنجح كل محاولة تقريبًا، فلا تكاد توجد حالات فشل ويقترب كل من المتوسط والتباين من 0. وكلما صغُر p تراكمت حالات الفشل ونما العزمان بسرعة.
