이 계산기의 기능
음이항분포 평균·분산 계산기는 음이항분포의 처음 두 적률(moment)을 반환합니다. 표준적인 "성공 전 실패 횟수" 매개변수화에서 확률변수 X는 독립적인 베르누이 시행의 수열에서 r번째 성공이 일어나기 전까지 발생하는 실패의 횟수를 셉니다. 여기서 각 시행은 확률 p로 성공합니다. r과 p를 입력하면 이 도구가 X의 평균, 분산, 표준편차를 알려 줍니다.
작동 방식
각 시행은 성공 확률 p가 일정한 독립적인 성공-또는-실패 실험입니다. r번의 성공이 쌓일 때까지 계속 표본을 뽑으며, X는 그 과정에서 관측된 실패의 횟수입니다. X는 각각 한 번의 성공 전 실패 횟수를 세는 r개의 독립적인 기하 변수의 합으로 쓸 수 있기 때문에, 그 평균과 분산은 하나의 기하 항의 평균과 분산의 정확히 r배가 됩니다. 이로부터 r과 p에만 의존하는 닫힌 형태의 식이 나옵니다.
공식
X의 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같습니다.
$$\mu = \frac{r(1-p)}{p}$$ $$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$ $$\sigma = \sqrt{r(1-p)}\,/\,p$$여기서 r은 목표 성공 횟수이고 p는 시행당 성공 확률이며, 0 < p <= 1 입니다. 분산은 항상 평균보다 1/p 배 크므로, 음이항분포는 포아송분포에 비해 과대산포(over-dispersed)한다는 점에 유의하세요.
풀이 예시
r = 5번의 성공이 필요하고 각 시행이 확률 p = 0.5로 성공한다고 합시다. 5번째 성공 전까지의 평균 실패 횟수는 5(1 - 0.5)/0.5 = 5 입니다. 분산은 5(1 - 0.5)/0.5^2 = 2.5/0.25 = 10 이므로, 표준편차는 sqrt(10), 약 3.16 입니다. 평균적으로 약 5번의 실패가 예상되며, 그 평균을 중심으로 대체로 약 3번의 실패만큼 퍼져 있습니다.
자주 묻는 질문
어떤 음이항분포 매개변수화를 사용하나요? 표준적인 "r번째 성공 전 실패 횟수" 관례를 사용하므로 평균은 r(1-p)/p 입니다. 교재가 실패 횟수 대신 전체 시행 횟수를 센다면, 두 관례 사이를 변환하기 위해 평균에 r을 더하세요.
r은 반드시 정수여야 하나요? 고전적인 계수 해석에서는 r이 양의 정수이지만, 평균과 분산 공식은 임의의 실수 r > 0에 대해 유효하며, 이것이 일반화된 (Polya) 음이항분포의 경우입니다.
p가 1에 가까워지면 어떻게 되나요? p가 1에 가까우면 거의 모든 시행이 성공하므로 실패가 거의 없고 평균과 분산 모두 0에 가까워집니다. p가 작아지면 실패가 쌓여 두 적률 모두 빠르게 커집니다.
