계산기 소개
이 도구는 이항분포(binomial distribution)의 핵심 통계량 세 가지, 즉 평균(기댓값), 분산, 표준편차를 계산합니다. 이항분포는 동일한 성공 확률을 가진 독립 시행을 정해진 횟수만큼 반복했을 때 나타나는 성공 횟수를 모델링합니다. 동전 던지기, 품질관리 표본 검사, 설문 응답 등 '예/아니오'로 나뉘는 실험을 \(n\)번 반복하는 모든 상황에 두루 적용할 수 있습니다.
사용 방법
시행 횟수 \(n\)(양의 정수)과 매 시행에서의 성공 확률 \(p\)(0과 1 사이의 값)를 입력하세요. 입력하는 즉시 평균, 분산, 표준편차가 계산되어 나타납니다.
공식 설명
매개변수가 \(n\)과 \(p\)인 이항분포에서:
평균은 $$\mu = n\,p$$ 로, 기대되는 성공 횟수를 뜻합니다. 분산은 $$\sigma^{2} = n\,p\,(1-p)$$ 로, 결과가 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타냅니다. 표준편차는 $$\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$$ 로 분산의 제곱근이며, 성공 횟수와 같은 단위로 표현됩니다.
계산 예시
공정한 동전을 10번 던진다고 가정해 봅시다. 이 경우 \(n = 10\), \(p = 0.5\) 입니다. 평균은 $$\mu = 10 \times 0.5 = 5$$ 로, 앞면이 평균 5번 나올 것으로 기대됩니다. 분산은 $$\sigma^{2} = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$$ 입니다. 표준편차는 $$\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$$ 입니다. 즉, 앞면이 대략 5번 나오되 약 1.58 정도의 오차 범위가 있다고 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
p는 어떤 범위의 값을 가질 수 있나요? 성공 확률 \(p\)는 0 이상 1 이하의 값이어야 합니다. 이 범위를 벗어난 값은 경계값으로 자동 조정됩니다.
왜 분산은 p = 0.5 일 때 가장 큰가요? \(p(1-p)\) 의 곱은 \(p = 0.5\) 일 때 최대가 되므로, 불확실성(퍼짐 정도)도 이 지점에서 가장 커집니다. 반대로 \(p\)가 0이나 1에 가까워질수록 분산은 0에 가까워집니다.
n이 커야만 사용할 수 있나요? 아닙니다. \(\mu = n\,p\) 와 \(\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}\) 공식은 \(n \geq 1\) 인 모든 경우에 정확하게 성립합니다. \(n\)이 커야 하는 경우는 이항분포를 정규분포로 근사하려 할 때뿐입니다.
