द्विपद बंटन का माध्य और मानक विचलन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परिणाम

माध्य (अपेक्षित मान)

μ = np

प्रसरण (σ²)	2.5
मानक विचलन (σ)	1.5811

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी द्विपद बंटन (binomial distribution) के तीन प्रमुख वर्णनात्मक मापों की गणना करता है: माध्य (अपेक्षित मान), प्रसरण और मानक विचलन। द्विपद बंटन निश्चित संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है, जहाँ हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता समान रहती है। यह हर ऐसी स्थिति पर लागू होता है — सिक्का उछालना, गुणवत्ता-नियंत्रण नमूना लेना, सर्वेक्षण के जवाब, या कोई भी हाँ/नहीं वाला प्रयोग जो n बार दोहराया जाए।

इसका उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या n (एक धनात्मक पूर्णांक) और हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p (0 और 1 के बीच का मान) दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत माध्य, प्रसरण और मानक विचलन लौटा देता है।

सूत्र की व्याख्या

प्राचलों n और p वाले किसी द्विपद बंटन के लिए:

माध्य $\mu = np$ होता है — यानी सफलताओं की अपेक्षित संख्या। प्रसरण $\sigma^{2} = np(1-p)$ होता है, जो बताता है कि परिणाम कितने फैले हुए हैं। मानक विचलन $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ होता है, यानी प्रसरण का वर्गमूल, जो सफलताओं की गिनती के समान ही इकाइयों में व्यक्त होता है।

$$\mu = n\,p, \qquad \sigma^{2} = n\,p\,(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$$

माध्य और मानक विचलन अंकित द्विपद बंटन का बार चार्ट — माध्य μ पर केंद्रित द्विपद बंटन, जिसका फैलाव मानक विचलन σ से मापा गया है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप एक निष्पक्ष सिक्के को 10 बार उछालते हैं, तो $n = 10$ और $p = 0.5$ होगा। माध्य $$\mu = 10 \times 0.5 = 5$$ अपेक्षित चित (heads) होंगे। प्रसरण $$\sigma^{2} = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$$ होगा। मानक विचलन $$\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$$ होगा। यानी आप लगभग 5 चित की उम्मीद कर सकते हैं, जिसमें करीब 1.58 का उतार-चढ़ाव संभव है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

p का मान किस सीमा में हो सकता है? प्रायिकता p का मान 0 और 1 के बीच (दोनों सहित) होना चाहिए। इस सीमा से बाहर के मानों को सीमा के भीतर समायोजित कर दिया जाता है।

p = 0.5 पर प्रसरण सबसे अधिक क्यों होता है? गुणनफल $p(1-p)$ तब अधिकतम होता है जब $p = 0.5$ हो, इसलिए अनिश्चितता (फैलाव) यहीं चरम पर पहुँचती है और जैसे-जैसे p, 0 या 1 की ओर बढ़ता है, यह घटकर 0 की ओर जाती है।

क्या इसके लिए बड़ा n ज़रूरी है? नहीं। सूत्र $\mu = np$ और $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ किसी भी $n \geq 1$ के लिए बिल्कुल सटीक हैं; बड़ा n केवल तभी चाहिए जब आप द्विपद बंटन का सामान्य बंटन (normal distribution) से सन्निकटन करना चाहें।

संबंधित कैलकुलेटर