Công cụ này làm gì?
Công cụ này tính ba đại lượng mô tả quan trọng của một phân phối nhị thức: giá trị trung bình (kỳ vọng), phương sai và độ lệch chuẩn. Phân phối nhị thức mô tả số lần thành công trong một số phép thử độc lập cố định, trong đó mỗi phép thử có cùng xác suất thành công. Nó áp dụng cho mọi bài toán dạng này — tung đồng xu, lấy mẫu kiểm soát chất lượng, câu trả lời khảo sát, hay bất kỳ thí nghiệm có/không nào được lặp lại n lần.
Cách sử dụng
Nhập số phép thử n (một số nguyên dương) và xác suất thành công p của mỗi phép thử (một giá trị từ 0 đến 1). Công cụ sẽ lập tức trả về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
Giải thích công thức
Với một phân phối nhị thức có tham số n và p:
Trung bình là \(\mu = np\) — số lần thành công kỳ vọng. Phương sai là \(\sigma^2 = np(1-p)\), cho biết mức độ phân tán của các kết quả. Độ lệch chuẩn là \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\), tức căn bậc hai của phương sai, được biểu diễn cùng đơn vị với số lần thành công.
$$\mu = n\,p, \qquad \sigma^{2} = n\,p\,(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$$
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn tung một đồng xu cân đối 10 lần, vậy \(n = 10\) và \(p = 0{,}5\). Trung bình là $$\mu = 10 \times 0{,}5 = 5$$ lần ra mặt ngửa kỳ vọng. Phương sai là $$\sigma^2 = 10 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2{,}5.$$ Độ lệch chuẩn là $$\sigma = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811.$$ Như vậy bạn kỳ vọng khoảng 5 lần ngửa, dao động lên xuống khoảng 1,58.
Câu hỏi thường gặp
p nhận giá trị trong khoảng nào? Xác suất \(p\) phải nằm trong đoạn từ 0 đến 1 (bao gồm cả hai đầu mút). Các giá trị nằm ngoài khoảng này sẽ bị giới hạn lại.
Vì sao phương sai lớn nhất tại p = 0,5? Tích \(p(1-p)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(p = 0{,}5\), nên độ bất định (độ phân tán) cũng đạt đỉnh tại đó và giảm dần về 0 khi \(p\) tiến gần đến 0 hoặc 1.
Công cụ này có cần n lớn không? Không. Các công thức \(\mu = np\) và \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) đúng chính xác với mọi \(n \geq 1\); chỉ khi muốn xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn thì bạn mới cần \(n\) lớn.
