這個計算器的功能
這個工具可以算出二項分布的三個關鍵描述統計量：平均數（期望值）、變異數，以及標準差。二項分布用來描述在固定次數的獨立試驗中，成功次數的分布情形，而且每一次試驗的成功機率都相同。它適用於各種類似的情境——擲硬幣、品管抽樣、問卷回覆，或任何重複進行 \(n\) 次的「是／否」實驗。
使用方法
輸入試驗次數 \(n\)（正整數），以及每次試驗的成功機率 \(p\)（介於 0 與 1 之間的數值）。計算器會立即顯示平均數、變異數與標準差。
公式說明
對於參數為 \(n\) 與 \(p\) 的二項分布：
平均數為 \(\mu = np\)，也就是期望的成功次數。變異數為 \(\sigma^2 = np(1-p)\)，用來衡量結果的離散程度。標準差為 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)，即變異數的平方根，單位與成功次數相同。
$$\mu = np, \qquad \sigma^{2} = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$Advertisement
範例演算
假設你擲一枚公正硬幣 10 次，因此 \(n = 10\)、\(p = 0.5\)。平均數為
$$\mu = 10 \times 0.5 = 5$$也就是期望出現 5 次正面。變異數為
$$\sigma^{2} = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$$標準差為
$$\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$$換句話說，你大約會出現 5 次正面，上下浮動約 1.58。
常見問題
p 的範圍是多少？成功機率 \(p\) 必須介於 0 與 1 之間（含兩端）。超出此範圍的數值會被自動限制在範圍內。
為什麼變異數在 p = 0.5 時最大？乘積 \(p(1-p)\) 在 \(p = 0.5\) 時達到最大值，因此不確定性（離散程度）此時最高；當 \(p\) 趨近 0 或 1 時，變異數則逐漸縮小至 0。
這需要 n 很大才適用嗎？不需要。公式 \(\mu = np\) 與 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) 對任何 \(n \geq 1\) 都是精確的；只有當你想用常態分布來近似二項分布時，才需要較大的 \(n\)。
