Калькулятор среднего и стандартного отклонения биномиального распределения

Введите расчет

Число испытаний (n)

Вероятность успеха (p)

Результатов

Среднее (математическое ожидание)

5

μ = np

Дисперсия (σ²)	2,5
Стандартное отклонение (σ)	1,5811

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент рассчитывает три ключевые характеристики биномиального распределения: математическое ожидание (среднее значение), дисперсию и стандартное отклонение. Биномиальное распределение описывает число «успехов» в фиксированном количестве независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха одинакова. Оно подходит для любой подобной задачи — подбрасывания монеты, выборочного контроля качества, ответов в опросах или любого эксперимента с двумя исходами («да/нет»), повторённого n раз.

Как пользоваться

Введите число испытаний n (целое положительное число) и вероятность успеха p в одном испытании (значение от 0 до 1). Калькулятор мгновенно покажет среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Разбор формулы

Для биномиального распределения с параметрами n и p:

Математическое ожидание равно \(\mu = np\) — это ожидаемое число успехов. Дисперсия равна \(\sigma^{2} = np(1-p)\) и показывает, насколько разбросаны возможные исходы. Стандартное отклонение равно \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — это квадратный корень из дисперсии, выраженный в тех же единицах, что и число успехов.

$$\mu = np, \qquad \sigma^{2} = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

Реклама

Биномиальное распределение с центром в среднем \(\mu\) и разбросом, измеряемым стандартным отклонением \(\sigma\).

Пример расчёта

Допустим, вы подбрасываете честную монету 10 раз, то есть \(n = 10\) и \(p = 0{,}5\). Тогда среднее равно $$\mu = 10 \times 0{,}5 = 5$$ ожидаемых выпадений «орла». Дисперсия составляет $$\sigma^{2} = 10 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2{,}5.$$ Стандартное отклонение — $$\sigma = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811.$$ То есть в среднем ожидается около 5 «орлов» с разбросом примерно ±1,58.

Часто задаваемые вопросы

Какие значения может принимать p? Вероятность \(p\) должна находиться в пределах от 0 до 1 включительно. Значения за этими границами ограничиваются (приводятся к ближайшей допустимой величине).

Почему дисперсия максимальна при p = 0,5? Произведение \(p(1-p)\) достигает максимума именно при \(p = 0{,}5\), поэтому неопределённость (разброс) здесь наибольшая и уменьшается до 0 по мере приближения \(p\) к 0 или 1.

Нужно ли большое n? Нет. Формулы \(\mu = np\) и \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) точны при любом \(n \geq 1\). Большое \(n\) требуется лишь тогда, когда вы хотите приблизить биномиальное распределение нормальным.