ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المقاييس الوصفية الثلاثة الأساسية لأي توزيع ذي حدين: المتوسط (القيمة المتوقعة)، والتباين، والانحراف المعياري. يصف التوزيع ذو الحدين عدد مرات النجاح ضمن عدد ثابت من المحاولات المستقلة، حيث يكون احتمال النجاح ثابتًا في كل محاولة. وهو ينطبق على أي تجربة من هذا النوع — كرمي قطعة نقود، أو سحب العينات في ضبط الجودة، أو إجابات الاستبيانات، أو أي تجربة من نوع "نعم/لا" تتكرر \(n\) مرة.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد المحاولات \(n\) (عدد صحيح موجب)، واحتمال النجاح \(p\) في كل محاولة (قيمة بين 0 و1). تعرض الحاسبة فورًا المتوسط والتباين والانحراف المعياري.
شرح المعادلة
بالنسبة لتوزيع ذي حدين بالوسيطين \(n\) و\(p\):
يُعطى المتوسط بالعلاقة $$\mu = n\,p$$ وهو العدد المتوقع لمرات النجاح. أما التباين فهو $$\sigma^{2} = n\,p\,(1-p)$$ ويقيس مدى تشتت النتائج. والانحراف المعياري هو $$\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$$ أي الجذر التربيعي للتباين، ويُعبَّر عنه بالوحدة نفسها التي يُقاس بها عدد مرات النجاح.
مثال محلول
لنفترض أنك ترمي قطعة نقود متزنة 10 مرات، أي \(n = 10\) و\(p = 0.5\). عندئذٍ يكون المتوسط $$\mu = 10 \times 0.5 = 5$$ أي خمس صور متوقعة. ويكون التباين $$\sigma^{2} = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$$ أما الانحراف المعياري فهو $$\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$$ إذن تتوقع نحو 5 صور، بهامش زيادة أو نقصان يقارب 1.58.
الأسئلة الشائعة
ما المجال الذي يمكن أن تأخذه قيمة p؟ يجب أن يقع احتمال النجاح \(p\) بين 0 و1 شاملةً الطرفين. وتُقيَّد القيم الواقعة خارج هذا المجال لتبقى ضمنه.
لماذا يبلغ التباين أقصاه عند p = 0.5؟ يبلغ الجداء \(p(1-p)\) قيمته العظمى عند \(p = 0.5\)، ولذلك يصل التشتت (عدم اليقين) إلى ذروته عند هذه القيمة، ثم يتناقص نحو الصفر كلما اقتربت \(p\) من 0 أو من 1.
هل تتطلب هذه الحاسبة قيمة كبيرة لـ n؟ لا. المعادلتان \(\mu = n\,p\) و\(\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}\) دقيقتان تمامًا لأي \(n \geq 1\)؛ ولا تحتاج إلى قيمة كبيرة لـ \(n\) إلا إذا أردت تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الطبيعي.
