ما هو الانحراف المعياري للعينة؟
يقيس الانحراف المعياري للعينة مدى تشتت قيم مجموعة من البيانات حول متوسطها، مستخدمًا المقام المصحّح وفق بيسل \(n-1\). وهو أكثر مقاييس التشتت شيوعًا عندما تكون بياناتك عيّنة مأخوذة من مجتمع أكبر وليست المجتمع الإحصائي بكامله.
الصيغة الرياضية
بمعلومية \(n\) من القيم \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ومتوسطها \(\bar{x}\)، يُحسب الانحراف المعياري للعينة \(s\) كالتالي:
$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$حيث يمثّل \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\) المتوسط الحسابي، ويمثّل المجموع الداخلي إجمالي مربعات الانحرافات.
كيفية الاستخدام
أدخل أرقامك مفصولة بفواصل أو بمسافات، ثم اطّلع على الانحراف المعياري والمتوسط والتباين ومجموع مربعات الانحرافات. استخدم هذه النسخة (n-1) مع العيّنات، ولا تلجأ إلى نسخة المجتمع (n) إلا عندما تملك جميع أفراد المجتمع الإحصائي بالكامل.
مثال محلول
لنأخذ مجموعة البيانات \(2, 4, 12, 18, 24, 30\). يكون المتوسط:
$$\bar{x}=\frac{2+4+12+18+24+30}{6}=\frac{90}{6}=15$$أما مربعات الانحرافات فهي \(169, 121, 9, 9, 81, 225\)، ومجموعها:
$$\sum(x_i-\bar{x})^2 = 169+121+9+9+81+225 = 614$$ومن ثَمّ يكون التباين والانحراف المعياري:
$$s^2=\frac{614}{6-1}=122.8,\qquad s=\sqrt{122.8}\approx 11.08$$الأسئلة الشائعة
متى أقسم على n بدلًا من n-1؟ اقسم على \(n\) فقط عند حساب الانحراف المعياري للمجتمع. أما في حالة العيّنة، فإن \(n-1\) يصحّح التحيّز عند تقدير تباين المجتمع.
ماذا لو أدخلت قيمة واحدة فقط؟ يصبح الانحراف المعياري غير معرّف (قسمة على صفر)، ولذلك تظهر النتيجة على أنها 0.
هل يمكنني الخلط بين الفواصل والمسافات؟ نعم — يمكن فصل القيم بأيٍّ منهما، مثل 4, 8 15 16.
