ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الانحراف المعياري والتباين لأي مجموعة من القيم الرقمية، إلى جانب الإحصاءات المساندة: عدد القيم (\(n\))، والمتوسط الحسابي، ومجموع المربعات (SS). يقيس الانحراف المعياري مدى تشتت أرقامك حول متوسطها. فكلما صغرت قيمته دل ذلك على أن النقاط متقاربة وملتفة حول المتوسط، وكلما كبرت دل على أن البيانات متباعدة ومنتشرة على نطاق واسع.
كيفية الاستخدام
اكتب أرقامك أو الصقها في المربع، مفصولةً بمسافات أو فواصل أو أسطر جديدة — يمكنك المزج بينها كما تشاء، وسيتم تجاهل الخانات الفارغة. بعد ذلك حدّد ما إذا كانت بياناتك تمثل عينة (جزءاً من مجموعة أكبر، فتُقسَّم على \(n-1\)) أم المجتمع بأكمله (فتُقسَّم على \(n\)). انقر على زر الحساب لتظهر لك النتيجة بالتفصيل الكامل.
شرح المعادلة
نبدأ بحساب المتوسط الحسابي: $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}.$$ ثم نحسب انحراف كل قيمة عن المتوسط، ونربّع هذا الانحراف، ثم نجمع النتائج للحصول على مجموع المربعات: $$SS = \sum (x_i - \bar{x})^2.$$ ويساوي التباين ناتج قسمة مجموع المربعات على \(n-1\) (في حالة العينة) أو على \(n\) (في حالة المجتمع)، أما الانحراف المعياري فهو ببساطة الجذر التربيعي للتباين: $$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}.$$ يستخدم وضع العينة القسمة على \(n-1\) (تصحيح بيسل) للحصول على تقدير غير متحيّز لتباين المجتمع الحقيقي انطلاقاً من العينة.
مثال محلول
لنأخذ مجموعة البيانات 10، 12، 23، 23، 16، 23، 21، 16: مجموعها 144 وعدد قيمها \(n = 8\)، فيكون المتوسط 18. ومجموع مربعات الانحرافات هو \(SS = 192\). في وضع العينة: $$\text{التباين} = \frac{192}{7} = 27.4286$$ والانحراف المعياري \(= \sqrt{27.4286} \approx 5.2372\). وفي وضع المجتمع: $$\text{التباين} = \frac{192}{8} = 24$$ والانحراف المعياري \(= \sqrt{24} \approx 4.899\).
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم العينة ومتى أستخدم المجتمع؟ استخدم خيار العينة عندما تكون بياناتك جزءاً مأخوذاً من مجموعة أكبر تريد استخلاص استنتاجات عنها. واستخدم خيار المجتمع عندما تشمل بياناتك جميع أفراد المجموعة دون استثناء.
لماذا يحتاج وضع العينة إلى قيمتين على الأقل؟ لأن صيغة العينة تقسم على \(n-1\)، وهو ما سيكون صفراً عند وجود قيمة واحدة فقط، فتصبح النتيجة غير معرّفة.
ما هو مجموع المربعات؟ هو مجموع مربعات الفروق بين كل قيمة من البيانات والمتوسط الحسابي — وهو حجر الأساس الذي يُبنى عليه كل من التباين والانحراف المعياري.
