यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी संख्यात्मक डेटा सेट का मानक विचलन (standard deviation) और प्रसरण (variance) निकालता है, साथ ही ज़रूरी आँकड़े भी देता है: संख्या (n), माध्य (mean) और वर्गों का योग (SS)। मानक विचलन यह बताता है कि आपके आँकड़े अपने औसत के इर्द-गिर्द कितने फैले हुए हैं। छोटा मान दर्शाता है कि डेटा पॉइंट माध्य के बहुत पास इकट्ठा हैं; बड़ा मान दर्शाता है कि वे दूर-दूर तक बिखरे हुए हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी संख्याओं को बॉक्स में टाइप करें या पेस्ट करें — इन्हें स्पेस, अल्पविराम (comma) या नई लाइन से अलग करें। कोई भी मिला-जुला तरीका चलेगा, और खाली प्रविष्टियाँ अपने-आप छोड़ दी जाती हैं। इसके बाद चुनें कि आपका डेटा एक सैंपल (sample) है (किसी बड़े समूह का एक हिस्सा, जिसे \(n-1\) से भाग दिया जाता है) या पूरी पॉपुलेशन (population) है (जिसे \(n\) से भाग दिया जाता है)। पूरा विवरण देखने के लिए कैलकुलेट पर क्लिक करें।
फ़ॉर्मूला आसान शब्दों में
सबसे पहले माध्य निकाला जाता है: $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$$ फिर हर मान का माध्य से अंतर निकालकर उसका वर्ग किया जाता है और इन सबको जोड़कर वर्गों का योग प्राप्त होता है: $$SS = \sum (x_i - \bar{x})^2$$ प्रसरण = SS को \(n-1\) (सैंपल) या \(n\) (पॉपुलेशन) से भाग देने पर मिलता है, और मानक विचलन बस प्रसरण का वर्गमूल होता है। सैंपल मोड में \(n-1\) (बेसेल का सुधार / Bessel's correction) का उपयोग किया जाता है ताकि सैंपल से असली पॉपुलेशन प्रसरण का निष्पक्ष (unbiased) अनुमान मिल सके।
हल किया हुआ उदाहरण
डेटा सेट 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 के लिए: योग 144 है और \(n = 8\), इसलिए माध्य 18 है। वर्ग किए गए अंतरों का योग \(SS = 192\) आता है। सैंपल मोड में, प्रसरण \(= 192 \div 7 = 27.4286\) और मानक विचलन \(= \sqrt{27.4286} \approx 5.2372\)। पॉपुलेशन मोड में, प्रसरण \(= 192 \div 8 = 24\) और मानक विचलन \(= \sqrt{24} \approx 4.899\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सैंपल और पॉपुलेशन में से कब क्या चुनें? सैंपल तब चुनें जब आपका डेटा किसी बड़े समूह का एक हिस्सा हो, जिसके बारे में आप निष्कर्ष निकालना चाहते हैं। पॉपुलेशन तब चुनें जब आपके डेटा में समूह का हर एक सदस्य शामिल हो।
सैंपल मोड में कम से कम 2 मान क्यों चाहिए? सैंपल फ़ॉर्मूला \(n-1\) से भाग देता है। अगर केवल एक ही मान हो तो यह शून्य हो जाएगा, जिससे परिणाम परिभाषित (defined) नहीं रहेगा।
वर्गों का योग (sum of squares) क्या होता है? यह हर डेटा पॉइंट और माध्य के बीच के अंतर के वर्गों का कुल योग है — यही प्रसरण और मानक विचलन दोनों की बुनियाद है।
