यह टूल क्या करता है
यह जेनरेटर आपके चुने हुए स्वतंत्रता कोटि (degrees of freedom) वाले काई-स्क्वायर्ड वितरण से छद्म-यादृच्छिक संख्याओं की एक सूची तैयार करता है। स्वतंत्रता कोटि को \(v\) (ग्रीक अक्षर 'न्यू') से दर्शाया जाता है। सांख्यिकी में काई-स्क्वायर्ड वितरण बेहद बुनियादी है: यह स्वतंत्र मानक-सामान्य (standard normal) चरों के वर्गों के योग का वर्णन करता है और काई-स्क्वायर्ड गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण, प्रसरण आकलन तथा कॉन्फिडेंस इंटरवल का आधार बनता है।
इसका उपयोग कैसे करें
स्वतंत्रता कोटि \(v\) दर्ज करें (कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या, डिफ़ॉल्ट 3), आपको कितने यादृच्छिक मान चाहिए वह संख्या डालें (1 से 1000 तक, डिफ़ॉल्ट 10), और चुनें कि हर मान कितने सार्थक अंकों (significant digits) तक दिखे। नया प्रतिदर्श (sample) पाने के लिए 'गणना करें' पर क्लिक करें। चूँकि जेनरेटर यादृच्छिक है, हर बार चलाने पर अलग संख्याएँ मिलेंगी, लेकिन साथ में दिखाए गए सैद्धांतिक माध्य (\(v\)), प्रसरण (\(2v\)) और मानक विचलन (\(\sqrt{2v}\)) स्थिर रहते हैं — इनसे आप अपने प्रतिदर्श की जाँच कर सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
काई-स्क्वायर्ड घनत्व (density) है
$$f(x) = \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}\, x^{\frac{v}{2}-1}\, e^{-x/2}, \quad x > 0$$जहाँ \(x \geq 0\)। मान बनाने के लिए हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि काई-स्क्वायर्ड(\(v\)) चर, आकार (shape) \(v/2\) और पैमाने (scale) 1 वाले गामा चर के 2 गुना के बराबर होता है। पूर्णांक \(v\) के लिए हम सरल सर्वसमिका
$$X = \sum_{i=1}^{v} Z_i^{2}, \qquad Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$$का उपयोग करते हैं, जहाँ हर \(Z\) एक मानक सामान्य चर है जिसे बॉक्स-मुलर (Box-Muller) रूपांतरण से बनाया जाता है। अपूर्णांक \(v\) के लिए हम मार्सालिया-त्सांग (Marsaglia-Tsang) गामा विधि का उपयोग करते हैं और फिर परिणाम को 2 से गुणा करते हैं।
हल किया गया उदाहरण
\(v = 3\) और count = 10 के साथ, हर मान तीन वर्गित मानक-सामान्य चरों का योग होता है। एक प्रातिनिधिक प्रतिदर्श कुछ ऐसा हो सकता है: 1.842, 4.317, 0.526, 2.991, 6.083, 1.205, 3.778, 0.914, 5.460, 2.337। इनका औसत लगभग \(2.945\) है, जो सैद्धांतिक माध्य \(3\) के काफी करीब है। जैसा अपेक्षित है, हर मान गैर-ऋणात्मक (non-negative) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
हर बार मेरी संख्याएँ क्यों बदल जाती हैं? जेनरेटर एक यादृच्छिक स्रोत का उपयोग करता है, इसलिए हर बार चलाने पर एक स्वतंत्र प्रतिदर्श बनता है। सैद्धांतिक आँकड़े वही रहते हैं।
क्या \(v\) दशमलव संख्या हो सकती है? हाँ। 0 से बड़ा कोई भी \(v\) मान्य है; अपूर्णांक मानों के लिए टूल गामा विधि का उपयोग करता है।
अगर मैं 1000 से ज़्यादा मान माँगूँ तो क्या होगा? संख्या को 1 से 1000 की अनुमत सीमा के भीतर सीमित कर दिया जाता है।
