Генератор случайных чисел распределения хи-квадрат

Введите расчет

Число степеней свободы v

Сколько случайных значений сгенерировать

Точность отображения (значащих цифр) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Chi-Squared via Gamma Relation (general v)

   

   For non-integer v, values are drawn from the chi-squared density with v degrees of freedom; the theoretical mean is v and variance is 2v.

Результатов

Выборочное среднее сгенерированных значений

4,0607

expected mean = v = 3

Random values from chi-squared(v = 3)

1. 13.71893453
2. 4.449569631
3. 0.6200455862
4. 1.053529900
5. 0.8057529943
6. 7.246150723
7. 2.573058951
8. 1.435004045
9. 1.344159936
10. 7.361231401

Сгенерировано значений	10
Теоретическое среднее	3
Теоретическая дисперсия	6
Теоретическое СКО	2,4495
Выборочное среднее	4,0607

Что делает этот инструмент

Генератор создаёт список псевдослучайных чисел из распределения хи-квадрат с заданным числом степеней свободы, которое обозначают буквой \(v\) (греческая «ню»). Распределение хи-квадрат — одно из ключевых в статистике: оно описывает сумму квадратов независимых стандартных нормальных величин и лежит в основе критерия согласия хи-квадрат, оценки дисперсии и построения доверительных интервалов.

Как пользоваться

Укажите число степеней свободы \(v\) (любое положительное вещественное число, по умолчанию 3), количество нужных случайных значений (от 1 до 1000, по умолчанию 10) и выберите, сколько значащих цифр показывать у каждого значения. Нажмите «Рассчитать» — и получите новую выборку. Поскольку генератор случайный, каждый запуск даёт другие числа, но теоретические среднее (\(v\)), дисперсия (\(2v\)) и стандартное отклонение (\(\sqrt{2v}\)), которые показаны рядом, остаются неизменными и помогают проверить, насколько правдоподобна выборка.

Разбор формулы

Плотность распределения хи-квадрат задаётся как $$f(x,v) = \frac{x^{v/2-1}\, e^{-x/2}}{2^{v/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}, \quad x \geq 0$$ Для генерации значений используется тот факт, что величина хи-квадрат(\(v\)) равна удвоенной гамма-величине с параметром формы \(v/2\) и масштабом 1. Для целого \(v\) применяется более простое тождество $$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_v^2,$$ где каждое \(Z\) — стандартная нормальная величина, полученная преобразованием Бокса–Мюллера. Для нецелого \(v\) используется метод Марсальи–Цанга для гамма-распределения с последующим умножением на 2.

Реклама

Кривые плотности хи-квадрат при росте числа степеней свободы \(v\): смещаются вправо и сглаживаются.

Пример расчёта

При \(v = 3\) и количестве значений 10 каждое значение представляет собой сумму трёх квадратов стандартных нормальных величин. Типичная выборка может выглядеть так: 1,842, 4,317, 0,526, 2,991, 6,083, 1,205, 3,778, 0,914, 5,460, 2,337. Их среднее составляет около 2,945, что близко к теоретическому среднему 3. Все значения неотрицательны, как и должно быть.

Гистограмма сгенерированных значений хорошо повторяет теоретическую плотность хи-квадрат.

Частые вопросы

Почему числа меняются при каждом запуске? Генератор использует случайный источник, поэтому каждый запуск даёт независимую выборку. Теоретические характеристики при этом остаются прежними.

Может ли \(v\) быть дробным? Да. Подходит любое \(v\) больше 0; для нецелых значений инструмент применяет гамма-метод.

Что будет, если запросить больше 1000 значений? Количество автоматически ограничивается допустимым диапазоном от 1 до 1000.