Что такое нецентральное распределение хи-квадрат?
Нецентральное распределение хи-квадрат обобщает обычное (центральное) распределение хи-квадрат за счёт добавления параметра нецентральности λ. Оно описывает сумму квадратов независимых нормальных величин с ненулевыми средними. Это распределение широко применяется в анализе мощности статистических критериев, в задачах обнаружения сигналов и при проверке гипотез. Калькулятор реализует чистую математику и работает универсально — здесь нет правил, привязанных к какой-либо стране.
Как пользоваться калькулятором
Выберите, какую величину нужно вычислить: плотность вероятности f, нижнюю кумулятивную вероятность P или верхнюю кумулятивную вероятность Q. Укажите число степеней свободы \(\nu\) (должно быть больше 0), параметр нецентральности \(\lambda\) (должен быть не меньше 0) и опорное значение \(x\). Чтобы построить таблицу пар (x, значение) по диапазону, задайте начальное значение \(x\), шаг приращения и количество строк.
Разбор формулы
Нецентральное хи-квадрат представляет собой смесь центральных распределений хи-квадрат с весами по закону Пуассона с параметром λ/2. Вес для слагаемого j равен \(w_j = e^{-\lambda/2} \cdot (\lambda/2)^j / j!\). Плотность вычисляется как f = сумма \(w_j\), умноженных на плотность центрального хи-квадрат с ν+2j степенями свободы.
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$Нижняя кумулятивная вероятность — это та же смесь, применённая к функции распределения центрального хи-квадрат, которая использует регуляризованную нижнюю неполную гамма-функцию.
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$Верхняя кумулятивная вероятность вычисляется просто: \(Q = 1 - P\).
Разбор примера
Пусть \(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\). Веса Пуассона с параметром 0,5 равны 0,6065, 0,3033, 0,0758, 0,0126 и 0,0016. Значения функции распределения центрального хи-квадрат в точке \(x=2\) при 3, 5, 7, 9 и 11 степенях свободы составляют 0,4276, 0,1511, 0,0387, 0,0074 и 0,0011. Взвешенная сумма даёт \(P \approx 0{,}3082\), поэтому \(Q \approx 0{,}6918\). Плотность f в этой же точке приблизительно равна 0,173.
Частые вопросы
Что происходит при λ = 0? Распределение в точности сводится к центральному распределению хи-квадрат с ν степенями свободы, поскольку остаётся только слагаемое j=0 с весом 1.
Может ли ν быть нецелым? Да. Гамма-функция работает с любым ν больше 0, поэтому дробные степени свободы вполне допустимы.
Почему плотность равна 0 при x = 0? При ν, равном 2 и более, плотность в начале координат равна 0; при ν меньше 2 она уходит в бесконечность, поэтому в качестве практического предела калькулятор возвращает 0 при \(x = 0\).
