Что делает калькулятор процентиля распределения Вейбулла?
Этот инструмент вычисляет процентиль (его также называют квантилем или обратной функцией распределения, inverse CDF) двухпараметрического распределения Вейбулла. По заданным параметру формы \(m\), параметру масштаба \(\eta\) и накопленной вероятности он возвращает значение \(x\), при котором распределение достигает этой вероятности. Это чисто статистический инструмент: он работает одинаково в любой стране и не зависит от каких-либо региональных правил.
Распределение Вейбулла
Двухпараметрическое распределение Вейбулла задаётся параметром формы \(m\) (его также обозначают \(k\) или \(\beta\)) и параметром масштаба \(\eta\) (встречаются обозначения \(\alpha\) или \(\lambda\)); оба строго положительны, а область определения — \(x \geq 0\). Его функция распределения снизу выглядит так: $$P = F(x) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right).$$ Верхняя вероятность (функция надёжности) равна $$Q = 1 - F(x) = \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right),$$ поэтому \(P + Q = 1\).
Формула квантиля
Если решить уравнение \(P = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)\) относительно \(x\), получим обратную функцию распределения: $$x = \eta\left(-\ln\left(1-P\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Когда вы вводите вероятность из верхнего хвоста \(Q\), калькулятор сначала переводит её через соотношение \(P = 1 - Q\), что равносильно формуле $$x = \eta\left(-\ln\left(Q\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Результат \(x\) выражается в тех же единицах, что и параметр масштаба (часы, циклы и т. д.).
Как пользоваться калькулятором
Введите параметр формы \(m\) и параметр масштаба \(\eta\). Укажите, что именно вы задаёте: нижнюю накопленную вероятность \(P\) или верхнюю вероятность \(Q\), — и впишите значение вероятности строго в диапазоне от 0 до 1. В результате вы получите процентиль \(x\).
Разбор примера
Пусть \(m = 2\), \(\eta = 1\), а нижняя вероятность \(P = 0{,}5\). Тогда \(-\ln(1 - 0{,}5) = 0{,}693147\), а \(0{,}693147^{\frac{1}{2}} = 0{,}832555\), поэтому $$x = 1 \cdot 0{,}832555 = 0{,}83255.$$ Это медиана распределения Вейбулла(2, 1), известного также как распределение Рэлея.
Частые вопросы
Что делать, если у меня есть вероятность безотказной работы (надёжности)? Это и есть верхняя вероятность \(Q\). Выберите вариант «Верхняя накопленная вероятность \(Q\)» и введите её напрямую.
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? Когда \(P\) стремится к 1, процентиль уходит в бесконечность, а при \(P = 0\) он равен 0. Значения на границах или за ними делают логарифм неопределённым.
Может ли результат быть отрицательным? Нет. Область определения Вейбулла — \(x \geq 0\), поэтому процентиль всегда неотрицателен.
