Что это за калькулятор процентилей распределения Лапласа?
Этот инструмент вычисляет процентиль (квантиль) распределения Лапласа, которое также называют двойным экспоненциальным распределением. По заданной кумулятивной вероятности он возвращает значение x, при котором эта вероятность достигается. Это универсальный математический инструмент: он работает одинаково в любой стране и не опирается ни на какие национальные правила или допущения.
Распределение Лапласа задаётся параметром положения \(a\) (он же среднее и медиана) и параметром масштаба \(b\) (\(b > 0\)). Плотность вероятности равна $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right):$$ она даёт острый пик в точке \(a\) и симметричные экспоненциальные «хвосты». Дисперсия составляет \(2b^2\).
Как пользоваться калькулятором
Укажите параметр положения \(a\), параметр масштаба \(b\) (он должен быть положительным) и выберите, что именно вы вводите: нижнюю кумулятивную вероятность \(P = \Pr(X \le x)\) или верхнюю кумулятивную вероятность \(Q = \Pr(X > x)\). Затем введите саму вероятность — строго в интервале от 0 до 1. В ответ калькулятор выдаст квантиль x.
Разбор формулы
Функция распределения Лапласа имеет вид \(P(x) = 0{,}5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\) при \(x < a\) и \(P(x) = 1 - 0{,}5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\) при \(x \ge a\). Если обратить её, получается функция квантилей: при \(P \le 0{,}5\) имеем \(x = a + b\cdot\ln(2P)\); при \(P > 0{,}5\) — \(x = a - b\cdot\ln(2(1-P))\). Когда вы вводите верхнюю вероятность Q, инструмент сначала переходит к \(P = 1 - Q\), а затем применяет то же обращение. Обратите внимание: при \(P = 0{,}5\) всегда получается \(x = a\), ведь медиана совпадает с параметром положения.
Пример расчёта
Возьмём \(a = 0\), \(b = 1\) и нижнюю вероятность \(P = 0{,}75\). Так как \(P > 0{,}5\), считаем $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0{,}25) = -\ln(0{,}5) = \ln(2) \approx 0{,}6931471806.$$ Значит, 75% всей вероятностной массы приходится на значения, не превышающие \(x \approx 0{,}693\).
Частые вопросы
Почему обязательно \(0 < p < 1\)? Когда p стремится к 0, квантиль уходит в минус бесконечность, а когда p стремится к 1 — в плюс бесконечность. Конечный результат даёт только вероятность, строго лежащая внутри интервала.
А если у меня вероятность правого хвоста? Выберите «Верхняя кумулятивная вероятность Q» — инструмент сам пересчитает её по формуле \(P = 1 - Q\).
Почему масштаб должен быть положительным? Параметр \(b\) отвечает за разброс и участвует в делении при стандартизации, поэтому значение \(b \le 0\) делает распределение вырожденным и не принимается.
