什麼是拉普拉斯分布百分位數計算機？
這個工具能計算拉普拉斯分布（又稱雙指數分布）的百分位數，也就是分位數。只要給定一個累積機率，它就會回傳達到該機率時所對應的數值 \(x\)。這是一項通用的數學工具，在世界各地的運算結果都完全相同，不含任何特定國家的假設。
拉普拉斯分布有位置參數 \(a\)（即平均數與中位數）與尺度參數 \(b\)（\(b > 0\)）。其機率密度函數為 \(f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)\)，在 \(a\) 處形成尖銳的峰值，並向兩側呈對稱的指數型尾部衰減。其變異數為 \(2b^2\)。
使用方式
輸入位置參數 \(a\) 與尺度參數 \(b\)（必須為正數），接著選擇你的機率是下尾累積機率 \(P = \Pr(X \le x)\)，還是上尾累積機率 \(Q = \Pr(X > x)\)，並填入嚴格介於 0 與 1 之間的機率值。計算機便會回傳分位數 \(x\)。
公式解析
拉普拉斯分布的 CDF 為：當 \(x < a\) 時，\(P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\)；當 \(x \ge a\) 時，\(P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\)。將其反推後可得到分位數函數：
$$x = \begin{cases} a + b \ln\!\left(2P\right), & P \le 0.5 \\[1em] a - b \ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$當你輸入的是上尾機率 \(Q\) 時，工具會先設定 \(P = 1 - Q\)，再套用相同的反推公式。請注意，\(P = 0.5\) 永遠會回傳 \(x = a\)，因為中位數恰好等於位置參數。
實際範例
假設 \(a = 0\)、\(b = 1\)、下尾機率 \(P = 0.75\)。由於 \(P > 0.5\)，因此 $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806.$$ 換句話說，有 75% 的機率質量落在 \(x \approx 0.693\) 之下（含等於）。
常見問題
為什麼必須滿足 \(0 < p < 1\)？當 \(p\) 趨近於 0 時，分位數會發散到負無限大；當 \(p\) 趨近於 1 時，則會發散到正無限大。因此只有嚴格落在區間內部的機率值，才會得到有限的答案。
如果我手上的是上尾機率怎麼辦？請選擇「上尾累積機率 Q」，工具會自動透過 \(P = 1 - Q\) 進行換算。
為什麼尺度參數一定要是正數？尺度參數 \(b\) 控制分布的離散程度，並出現在標準化運算的除法之中，因此 \(b \le 0\) 會導致退化情形，系統會予以拒絕。
