這個計算器能做什麼
本工具用來計算 Gamma 分布的百分位點（又稱分位數或反累積分布函數）。只要給定一個機率與 Gamma 分布的參數，它就會回傳使 Gamma 累積分布函數（CDF）等於該機率的 \(x\) 值。換句話說，它就是 Gamma CDF 的反函數，常見於可靠度工程、貝氏統計、排隊理論，以及降雨／水文建模等領域。
使用方式
首先選擇你的機率是下尾累積機率 \(P\)（x 左側的面積），還是上尾累積機率 \(Q\)（x 右側的面積）。接著輸入嚴格介於 0 與 1 之間的機率值、形狀參數 \(a\)（alpha，必須大於 0），以及尺度參數 \(b\)（theta，必須大於 0）。Gamma 分布的平均值為 \(a\) 乘以 \(b\)。若你輸入的是上尾機率 \(Q\)，計算器會先換算成 \(P = 1 - Q\)，再進行反推。
公式說明
在尺度參數化下，Gamma 的 CDF 為 \(F(x) = P_{\text{reg}}(a, x/b)\)，其中 \(P_{\text{reg}}\) 為正規化下不完全 gamma 函數。令 \(y = x/b\)，可讓問題變得與尺度無關：先求解 \(P_{\text{reg}}(a, y) = P\)，再回傳 \(x = b\) 乘以 \(y\)。正規化不完全 gamma 函數在 \(y\) 較小時以級數展開求值、在 \(y\) 較大時改用連分數計算；反推則先以 Wilson–Hilferty 提供初始估計值，再用牛頓法逐步逼近，並以二分法作為安全備援。
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$
實例演算
假設機率類型＝下尾、機率＝0.95、形狀參數 \(a = 2\)、尺度參數 \(b = 1\)。當 \(a = 2\) 時，CDF 具有封閉形式 \(1 - (1 + y)e^{-y}\)。解方程式
$$1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95$$得到 \(y\) 約為 4.7439，因此 \(x\) 約為 4.7439。若改用尺度參數 \(b = 3\)，則 \(x = 3 \times 4.7439 = 14.2317\)。
常見問題
如果 a = 1 會怎樣？此時 Gamma 分布退化為平均值為 \(b\) 的指數分布，分位數有精確的封閉形式 \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\)。
使用哪一種參數化？採用形狀參數 \(a\) 與尺度參數 \(b\)，因此平均值為 \(a\) 乘以 \(b\)。若你手上是速率（rate）參數，則尺度參數 \(b = 1 \div \text{速率}\)。
為什麼機率必須介於 0 與 1 之間？當機率恰為 0 時分位數為 0，恰為 1 時則為無限大，因此唯有開區間 \((0, 1)\) 才會回傳有限的結果。
