이 계산기의 기능
이 도구는 감마분포의 백분위수(분위수 또는 역누적분포함수라고도 합니다)를 계산합니다. 확률과 감마분포의 모수를 입력하면, 감마 누적분포함수(CDF)가 그 확률과 같아지는 지점 \(x\)를 돌려줍니다. 즉 감마 CDF의 역함수로, 신뢰성 공학, 베이즈 통계, 대기행렬 이론, 강우·수문 모델링 등에서 폭넓게 활용됩니다.
사용 방법
먼저 입력할 확률이 하측 누적확률 \(P\)(\(x\)의 왼쪽 면적)인지, 상측 누적확률 \(Q\)(\(x\)의 오른쪽 면적)인지 선택하세요. 그다음 0과 1 사이의(양 끝값 제외) 확률, 0보다 큰 형상모수 \(a\)(알파), 그리고 0보다 큰 척도모수 \(b\)(세타)를 입력합니다. 감마분포의 평균은 \(a \cdot b\)입니다. 상측 확률 \(Q\)를 입력하면 계산기가 먼저 \(P = 1 - Q\)로 변환한 뒤 역함수를 구합니다.
공식 설명
척도모수 형태의 감마 CDF는 \(F(x) = P_{\text{reg}}(a,\ x/b)\)이며, 여기서 \(P_{\text{reg}}\)는 정규화된 하측 불완전감마함수입니다. \(y = x/b\)로 두면 문제가 척도와 무관해지므로, \(P_{\text{reg}}(a,\ y) = P\)를 푼 다음 \(x = b \cdot y\)를 돌려주면 됩니다.
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$정규화 불완전감마함수는 \(y\)가 작을 때는 급수 전개로, 클 때는 연분수로 계산하며, 역함수 계산은 윌슨–힐퍼티(Wilson-Hilferty) 초기 추정값을 뉴턴법으로 정밀화하고 안전장치로 이분법(bisection)을 함께 사용합니다.
계산 예시
확률 유형 = 하측, 확률 = 0.95, 형상모수 \(a = 2\), 척도모수 \(b = 1\)인 경우를 보겠습니다. \(a = 2\)일 때 CDF는 \(1 - (1 + y)e^{-y}\)라는 닫힌 형태를 가집니다. \(1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95\)를 풀면 \(y\)는 약 \(4.7439\)가 되므로 \(x\)도 약 \(4.7439\)입니다. 척도모수를 \(b = 3\)으로 바꾸면 $$x = 3 \times 4.7439 = 14.2317$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
\(a = 1\)이면 어떻게 되나요? 감마분포는 평균이 \(b\)인 지수분포로 단순화되며, 분위수는 정확한 닫힌 형태 \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\)로 구할 수 있습니다.
어떤 모수화를 사용하나요? 형상모수 \(a\)와 척도모수 \(b\)를 사용하므로 평균은 \(a \cdot b\)입니다. 비율(rate) 모수를 가지고 있다면 척도모수 \(b = 1 / \text{비율}\)로 변환하면 됩니다.
확률이 왜 0과 1 사이여야 하나요? 확률이 정확히 0이면 분위수는 0이고, 정확히 1이면 무한대가 됩니다. 따라서 열린 구간 \((0, 1)\)에서만 유한한 결과를 얻을 수 있습니다.
