이 계산기는 무엇을 하나요?
감마 분포 계산기는 형상 모수 k와 척도 모수 θ를 이용해 원하는 지점 X에서 감마 분포의 확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF)를 계산합니다. PDF와 CDF는 물론, 분포의 평균·분산·최빈값·왜도·첨도까지 함께 산출해 단 세 개의 입력만으로 분포의 전체 통계적 모습을 한눈에 파악할 수 있습니다. 감마 분포는 대기 시간, 강수량, 보험금 청구액 등 0보다 큰 연속형 양수 값을 모델링하는 데 널리 쓰입니다.
세 가지 입력값
- 형상 모수 (k): 곡선의 형태를 결정합니다. k가 작으면 급격히 감소하는 형태가 되고, k가 클수록 종 모양에 가까워집니다.
- 척도 모수 (θ): 분포를 x축 방향으로 늘립니다. θ가 클수록 확률이 더 큰 값 쪽으로 퍼집니다.
- X 값: 확률밀도와 누적확률을 계산할 지점입니다.
계산 공식
이 계산기가 사용하는 PDF는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$여기서 \(\Gamma(k)\)는 감마 함수입니다. CDF는 이 밀도함수를 0부터 X까지 적분한 값으로, 정규화된 하부 불완전 감마 함수를 이용해 계산합니다. 또한 모수로부터 직접 다음 요약 통계량을 유도합니다.
- 평균 = \(k\cdot\theta\)
- 분산 = \(k\cdot\theta^{2}\)
- 최빈값 = \(k > 1\)일 때 \((k-1)\cdot\theta\), 그 외에는 0
- 왜도 = \(2/\sqrt{k}\)
- 첨도(초과 첨도) = \(6/k\)
계산 예시
k = 2, θ = 3, X = 4라고 가정해 봅시다. PDF는 $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot\Gamma(2)} = \frac{4\cdot 0.2636}{9} \approx 0.117$$ 입니다. X = 4에서의 CDF는 약 0.385로, 변수가 4 이하일 확률이 대략 38.5%라는 뜻입니다. 평균은 \(2 \times 3 = 6\), 분산은 \(2 \times 3^{2} = 18\), 최빈값은 \((2-1) \times 3 = 3\), 왜도는 \(2/\sqrt{2} \approx 1.414\), 초과 첨도는 \(6/2 = 3\) 입니다.
자주 묻는 질문
척도(scale) 방식인가요, 율(rate) 방식인가요? 이 계산기는 척도(θ) 방식을 사용합니다. 율 모수 β를 가지고 있다면 \(\theta = 1/\beta\)로 변환한 뒤 입력하세요.
어떤 값이 유효한가요? k와 θ는 모두 양수여야 하며, 감마 분포는 음이 아닌 값에서만 정의되므로 X는 0 이상이어야 합니다.
감마 분포는 지수 분포·카이제곱 분포와 어떤 관계인가요? k = 1이면 감마 분포는 평균이 θ인 지수 분포가 됩니다. 자유도가 v인 카이제곱 분포는 \(k = v/2\), \(\theta = 2\)인 감마 분포와 같습니다.
