Công Cụ Này Làm Gì
Máy Tính Phân Phối Gamma giúp bạn tính hàm mật độ xác suất (PDF) và hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối gamma tại một điểm X bất kỳ, dựa trên tham số hình dạng k và tham số tỷ lệ θ. Bên cạnh PDF và CDF, công cụ còn cho bạn biết giá trị trung bình (kỳ vọng), phương sai, mốt (mode), độ lệch (skewness) và độ nhọn (kurtosis) của phân phối — tức là một bức tranh thống kê đầy đủ chỉ từ ba thông số đơn giản. Phân phối gamma được dùng rất phổ biến để mô hình hóa thời gian chờ đợi, lượng mưa, quy mô bồi thường bảo hiểm và nhiều đại lượng liên tục, dương khác.
Ba Giá Trị Đầu Vào
- Tham số hình dạng (k): Quyết định dáng của đường cong. k nhỏ tạo ra hình suy giảm dốc; k lớn hơn khiến đường cong gần với hình chuông hơn.
- Tham số tỷ lệ (θ): Kéo giãn phân phối dọc theo trục x. θ càng lớn thì xác suất càng trải về phía các giá trị cao hơn.
- Giá trị X: Điểm mà tại đó mật độ và xác suất tích lũy được tính.
Công Thức
Hàm PDF mà công cụ sử dụng là:
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$Trong đó \(\Gamma(k)\) là hàm gamma. CDF là tích phân của hàm mật độ này từ 0 đến X, được tính qua hàm gamma không hoàn chỉnh dưới đã chuẩn hóa (regularised lower incomplete gamma function). Công cụ cũng suy ra trực tiếp các đại lượng thống kê từ tham số:
- Trung bình = \(k\cdot\theta\)
- Phương sai = \(k\cdot\theta^{2}\)
- Mốt = \((k-1)\cdot\theta\) khi \(k > 1\), ngược lại bằng 0
- Độ lệch (skewness) = \(2/\sqrt{k}\)
- Độ nhọn dư (excess kurtosis) = \(6/k\)
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử \(k = 2\), \(\theta = 3\) và \(X = 4\). Khi đó PDF là $$f(4) = \frac{4^{1} \cdot e^{-4/3}}{3^{2} \cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{9} \approx 0{,}117.$$ CDF tại \(X = 4\) vào khoảng 0,385, nghĩa là có khoảng 38,5% khả năng biến số nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 4. Trung bình là \(2 \times 3 = 6\), phương sai là \(2 \times 3^{2} = 18\), mốt là \((2-1) \times 3 = 3\), độ lệch là \(2/\sqrt{2} \approx 1{,}414\) và độ nhọn dư là \(6/2 = 3\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Đây là tham số tỷ lệ hay tham số nhịp (rate)? Công cụ dùng dạng tham số tỷ lệ (θ). Nếu bạn có tham số nhịp β, hãy chuyển đổi bằng công thức \(\theta = 1/\beta\) trước khi nhập vào.
Những giá trị nào hợp lệ? Cả k và θ đều phải là số dương, còn X phải lớn hơn hoặc bằng 0 vì phân phối gamma chỉ xác định cho các giá trị không âm.
Phân phối gamma liên hệ thế nào với phân phối mũ và khi-bình-phương? Khi \(k = 1\), phân phối gamma trở thành phân phối mũ có trung bình θ. Một phân phối khi-bình-phương (chi-squared) với v bậc tự do chính là phân phối gamma với \(k = v/2\) và \(\theta = 2\).
