Ce que fait ce calculateur
Le calculateur de loi Gamma détermine la fonction de densité de probabilité (PDF) et la fonction de répartition (CDF) d'une loi gamma en un point X choisi, à partir d'un paramètre de forme k et d'un paramètre d'échelle θ. En plus de la PDF et de la CDF, il fournit la moyenne, la variance, le mode, l'asymétrie (skewness) et l'aplatissement (kurtosis) de la loi : un panorama statistique complet à partir de trois données seulement. La loi gamma sert couramment à modéliser des temps d'attente, des cumuls de précipitations, des montants de sinistres en assurance et, plus généralement, des grandeurs continues à valeurs positives.
Les trois données à saisir
- Paramètre de forme (k) : il définit l'allure de la courbe. Un k faible donne une décroissance rapide ; un k plus élevé rapproche la courbe d'une forme en cloche.
- Paramètre d'échelle (θ) : il étire la loi le long de l'axe des abscisses. Plus θ est grand, plus la probabilité se répartit vers les valeurs élevées.
- Valeur de X : le point auquel on évalue la densité et la probabilité cumulée.
La formule
La PDF utilisée par le calculateur est :
$$f(x) = \frac{x^{\,k-1}\,e^{-x/\theta}}{\theta^{k}\,\Gamma(k)}$$où \(\Gamma(k)\) désigne la fonction gamma. La CDF correspond à l'intégrale de cette densité de 0 à X, calculée à l'aide de la fonction gamma incomplète inférieure régularisée. Le calculateur déduit également les statistiques de synthèse directement des paramètres :
- Moyenne = \(k\cdot\theta\)
- Variance = \(k\cdot\theta^{2}\)
- Mode = \((k-1)\cdot\theta\) lorsque \(k > 1\), sinon 0
- Asymétrie = \(2/\sqrt{k}\)
- Aplatissement (excès) = \(6/k\)
Exemple détaillé
Prenons \(k = 2\), \(\theta = 3\) et \(X = 4\). La PDF vaut $$f(4) = \frac{4^{1}\cdot e^{-4/3}}{3^{2}\cdot \Gamma(2)} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{9} \approx 0{,}117.$$ La CDF en \(X = 4\) est d'environ 0,385 : autrement dit, la variable a près de 38,5 % de chances d'être inférieure ou égale à 4. La moyenne est de \(2 \times 3 = 6\), la variance de \(2 \times 3^{2} = 18\), le mode de \((2-1) \times 3 = 3\), l'asymétrie de \(2/\sqrt{2} \approx 1{,}414\) et l'excès d'aplatissement de \(6/2 = 3\).
Questions fréquentes
S'agit-il du paramétrage par échelle ou par taux ? Le calculateur utilise la forme par échelle (θ). Si vous disposez d'un paramètre de taux \(\beta\), convertissez-le au préalable avec \(\theta = 1/\beta\).
Quelles valeurs sont valides ? k et θ doivent tous deux être strictement positifs, et X doit être supérieur ou égal à 0, car la loi gamma n'est définie que pour des valeurs positives ou nulles.
Quel lien avec les lois exponentielle et du khi-deux ? Lorsque \(k = 1\), la loi gamma se ramène à une loi exponentielle de moyenne \(\theta\). Une loi du khi-deux à v degrés de liberté est une loi gamma avec \(k = v/2\) et \(\theta = 2\).
