À quoi sert le calculateur de loi normale inverse
Ce calculateur répond à une question statistique courante, mais dans l'autre sens : au lieu de se demander « quelle est la probabilité d'obtenir une valeur inférieure à x ? », il pose la question « quelle valeur correspond à une probabilité donnée ? ». Vous indiquez une probabilité cumulée ainsi que les paramètres d'une loi normale, et l'outil renvoie la valeur correspondante (la valeur normale inverse), son centile et le score z associé. Il est très utilisé dans les exercices universitaires, le contrôle qualité, la finance (valeur en risque, ou VaR) et les tests standardisés.
Les trois paramètres à saisir
- Probabilité (entre 0 et 1) : l'aire cumulée située à gauche de la valeur recherchée. Par exemple, 0,95 signifie « la valeur en dessous de laquelle se trouvent 95 % de la distribution ». Elle doit être strictement comprise entre 0 et 1.
- Moyenne (μ) : le centre de votre loi normale.
- Écart-type (σ) : la dispersion de la distribution. Il doit être strictement supérieur à 0.
La formule
L'outil calcule la fonction de répartition inverse (la fonction quantile) d'une loi normale de paramètres μ et σ :
- Valeur normale inverse : x = Φ⁻¹(p ; μ, σ) — la valeur pour laquelle la probabilité cumulée est égale à p.
- Centile : probabilité × 100.
- Score z : z = (x − μ) / σ — le nombre d'écarts-types qui séparent x de la moyenne.
En coulisses, l'outil utilise l'inverse de la loi normale centrée réduite, puis applique un changement d'échelle et de position : x = μ + σ · z, où z correspond à la probabilité p.
Exemple détaillé
Supposons que les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne (μ) 70 et d'écart-type (σ) 8, et que vous cherchiez le 90ᵉ centile. Saisissez probabilité = 0,90, moyenne = 70, écart-type = 8.
- Le score z de la loi normale centrée réduite pour 0,90 vaut environ 1,2816.
- Valeur normale inverse : 70 + 8 × 1,2816 ≈ 80,25.
- Centile : 0,90 × 100 = 90 %.
- Score z : (80,25 − 70) / 8 ≈ 1,28.
Une note d'environ 80,25 place donc l'élève au 90ᵉ centile.
Questions fréquentes
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? Une loi normale s'étend à l'infini dans les deux directions : des probabilités exactement égales à 0 ou à 1 correspondraient donc à ±l'infini. Le calculateur n'accepte que les valeurs situées à l'intérieur de cet intervalle ouvert.
Que se passe-t-il si je laisse la moyenne et l'écart-type à leurs valeurs standard ? Si vous saisissez moyenne = 0 et écart-type = 1, la valeur normale inverse est directement égale au score z : vous obtenez alors le quantile classique de la loi normale centrée réduite.
Que signifie un résultat négatif ? Si votre probabilité est inférieure à 0,5, la valeur se situe à gauche de la moyenne, ce qui donne un score z négatif et une valeur inférieure à μ. C'est tout à fait normal, ce n'est pas une erreur.
